过抛物线 $E:{x^2} = 2py\left(p > 0\right)$ 的焦点 $ F $ 作斜率分别为 ${k_1}、{k_2}$ 的两条不同的直线 ${l_1}、{l_2}$，且 ${k_1} + {k_2} = 2$，${l_1}$ 与 $E$ 相交于点 $ A $，$ B $，${l_2}$ 与 $E$ 相交于点 $ C $，$ D $．以 $ AB $，$ CD $ 为直径的圆 $ M $，圆 $ N $（$ M $，$ N $ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
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若 ${k_1} > 0$，${k_2} > 0$，证明；$\overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} < 2{p^2}$；标注答案略；解析本题先利用 ${k_1} $，${k_2} $，表达出所涉及的点的坐标，再计算数量积，进而证明不等式．设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，$C\left({x_3},{y_3}\right)$，$D\left({x_4},{y_4}\right)$，$M\left({x_{12}},{y_{12}}\right)$，$N\left({x_{34}},{y_{34}}\right)$．直线 ${l_1}$ 的方程为 $y = {k_1}x + \dfrac{p}{2}$，与抛物线 $ E $ 方程联立，化简整理得\[ {x^2}- 2p{k_1}x - {p^2} = 0,\]则有\[\begin{split}{x_1} + {x_2} &= 2{k_1}p,\\ {x_1} \cdot {x_2} &= - {p^2} ,\end{split}\]从而\[\begin{split}{x_{12}}& = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = {k_1}p,\\ {y_{12}} &= {k_1}^2p + \dfrac{p}{2},\end{split}\]所以\[ \overrightarrow {FM} = \left({k_1}p, k_1^2p\right) .\]同理可得\[\overrightarrow {FN} = \left({k_2}p, k_2^2p\right) .\]所以\[ \overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} = {k_1}{k_2}{p^2} + k_1^2k_2^2{p^2} = {p^2}{k_1}{k_2}\left({k_1}{k_2} + 1\right).\]因为 $ {k_1} > 0,{k_2} > 0,{k_1} \ne {k_2},$ 所以\[2= {k_1} + {k_2}> 2\sqrt {{k_1}{k_2}},\]解得\[{k_1}{k_2} < 1,\]所以\[ \overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} = {p^2}{k_1}{k_2}\left({k_1}{k_2} + 1\right) < {p^2} \cdot 1 \cdot \left(1 + 1\right) = 2{p^2},\]因此，$\overrightarrow {FM} \cdot \overrightarrow {FN} < 2{p^2}$ 成立．
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若点 $ M $ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\dfrac{7\sqrt 5 }{5}$，求抛物线 $ E $ 的方程．标注答案${x^2} = 16y$．解析本题求解公共弦的方程是解题关键，首先应求出两个圆的方程，进而得到公共弦的方程，列出点到直线距离公式进行求解．设圆 $ M、N $ 的半径分别为 $ {r_1}、{r_2} $，所以\[\begin{split} {r_1} &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{p}{2} + {y_1}\right) + \left(\dfrac{p}{2} + {y_2}\right)\right] \\&= \dfrac{1}{2}\left[p + 2\left({k_1}^2p + \dfrac{p}{2}\right)\right] \\&= {k_1}^2p + p.\end{split}\]即\[{r_1} = {k_1}^2p + p, \]（推导中用到：[a]）
则圆 $M$ 的方程为\[{\left( {x - p{k_1}} \right)^2} + {\left( {y - pk_1^2 - \dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {pk_1^2 + p} \right)^2},\]化简得\[{x^2} + {y^2} - 2p{k_1}x - p\left( {2k_1^2 + 1} \right)y - \dfrac{3}{4}{p^2} = 0.\]同理可得圆 $N$ 的方程为\[{x^2} + {y^2} - 2p{k_{2}}x - p\left( {2k_2^2 + 1} \right)y - \dfrac{3}{4}{p^2} = 0.\]于是直线 $ l $ 的方程为\[\left( {{k_2} - {k_1}} \right)x + \left( {k_2^2 - k_1^2} \right)y = 0,\]结合 ${k_2} \ne {k_1},{k_2} + {k_1} = 2$ 得直线 $ l $ 的方程为\[x+2y=0. \]点 $ M\left({x_{12}},{y_{12}}\right) $ 到直线 $ l $ 的距离\[\begin{split}d& = \dfrac{{\left| {{x_{12}} + 2{y_{12}}} \right|}}{\sqrt 5 }\\ &= \frac{{p\left| {2k_1^2 + {k_1} + 1} \right|}}{\sqrt 5 } \\&= \frac{{p\left[ {2{{\left( {{k_1} + \dfrac{1}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{8}} \right]}}{\sqrt 5 },\end{split}\]则当 ${k_1} = - \dfrac{1}{4}$ 时，$d $ 的最大值为\[\dfrac{7}{8\sqrt 5 }p = \frac{7\sqrt 5 }{5},\]解得\[p=8.\]故抛物线的方程为 ${x^2} = 16y$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
