已知 $a > 0$，函数 $f\left(x\right) = \left| {\dfrac{x - a}{x + 2a}} \right|$．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
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记 $f\left(x\right)$ 在区间 $ \left[ {0,4} \right]$ 上的最大值为 $g\left(a\right) $，求 $g\left(a\right)$ 的表达式；标注答案所求表达式为\[g\left(a\right) = \begin{cases} \dfrac {4-a} {4+2a} ,&0<a \leqslant 1,\\ \dfrac 1 2 , &a>1. \end{cases}\]解析本题考查绝对值函数的最值问题，先通过限定区间，去掉绝对值，然后分析函数的单调性，再确定其最值．当 $0 \leqslant x \leqslant a$ 时，$f\left(x\right) = {\dfrac{a-x}{x + 2a}} $；当 $ x > a$ 时，$ f\left(x\right) = {\dfrac{x-a}{x + 2a}} $．
因此，当 $x \in \left(0,a\right)$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac {-3a} {\left(x+2a\right)^2 } < 0,\]$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,a\right)$ 上单调递减；
当 $x \in \left(a,+\infty\right)$ 时，\[f'\left(x\right) = \dfrac {3a} {\left(x+2a\right)^2 } > 0,\]$f\left(x\right)$ 在 $\left(a,+\infty\right)$ 上单调递增．
所以
① 当 $a \geqslant 4$ 时，则 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,4\right)$ 上单调递减，$g\left(a\right)=f\left(0\right) = \dfrac{1}{2}$．
② 当 $0< a < 4$ 时，则 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,a\right) $ 上单调递减，在 $ \left(a,4\right) $ 上单调递增，所以\[ g\left(a\right)=\max \left\{f\left(0\right),f\left(4\right)\right\}.\]而\[f\left(0\right)-f\left(4\right)=\dfrac 1 2 -\dfrac {4-a} {4+2a} = \dfrac {a-1} {2+a} ,\]故当 $0 < a \leqslant 1$ 时，$g\left(a\right)=f\left(4\right)=\dfrac {4-a} {4+2a} $；当 $1 < a < 4$ 时，$g\left(a\right)=f\left(0\right)=\dfrac 1 2 $．
综上所述，\[g\left(a\right) = \begin{cases} \dfrac {4-a} {4+2a} ,&0<a \leqslant 1,\\ \dfrac 1 2 , &a>1. \end{cases}\] -
是否存在 $a$，使函数 $y = f\left(x\right)$ 在区间 $\left( {0,4} \right)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．标注答案存在 $ a $ 使函数 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(0,4\right) $ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且 $ a $ 的取值范围是 $ \left(0,\dfrac 1 2 \right) $．解析本题结合 $(1)$ 的单调性结论，分析切线互相垂直的切点所满足的关系，得到问题的解答．由（1）知，当 $a \geqslant 4$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,4\right)$ 上单调递减，故不满足要求．
当 $0< a < 4$ 时，$ f\left(x\right) $ 在 $ \left(0,a\right) $ 上单调递减，在 $ \left(a,4\right) $ 上单调递增．
若存在 $x_1,x_2 \in \left(0,4\right)\left(x_1<x_2\right)$ 使曲线 $y =f\left(x\right)$ 在 $\left({x_1},f\left(x_1\right)\right)$，$\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 两点处的切线互相垂直，则 $x_1 \in \left(0,a\right) $，$x_2 \in \left(a,4\right)$，且 $f'\left(x_1\right) \cdot f'\left(x_2\right)=-1$，即\[\dfrac {-3a} {\left(x_1+2a\right)^2} \cdot \dfrac { 3a} {\left(x_2+2a\right)^2} =-1\]亦即\[x_1+2a = \dfrac {3a} {x_2+2a} . \quad \cdots \cdots ① \]由 $x_1 \in \left(0,a\right) $，$x_2 \in \left(a,4\right)$ 得 $x_1+2a \in \left(2a,3a\right) $，$\dfrac { 3a} {x_2+2a} \in \left( \dfrac {3a} {4+2a} ,1\right)$．
故 $ ① $ 成立等价于集合 $A=\left\{x \left| \right. 2a < x < 3a \right\} $ 与集合 $B=\left\{x \left| \right. \dfrac {3a} {4+2a} < x < 1 \right\} $ 的交集非空．
因为 $\dfrac {3a} {4+2a} < 3a $，
所以当且仅当 $0 < 2a <1 $，即 $0<a<\dfrac 1 2 $ 时，$A \cap B \ne \varnothing$．
综上所述，存在 $ a $ 使函数 $ f\left(x\right) $ 在区间 $ \left(0,4\right) $ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且 $ a $ 的取值范围是 $ \left(0,\dfrac 1 2 \right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
