题目 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：<br/>累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．<br/>经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$． 问题1 求甲连胜四场的概率； 答案1 $\frac{1}{16}$ 解析1 解：甲连胜四场的概率为 $\frac{1}{16}$． 备注1 问题2 求需要进行第五场比赛的概率； 答案2 $\frac{3}{4}$ 解析2 解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．<br/>比赛四场结束，共有三种情况：<br/>甲连胜四场的概率为 $\frac{1}{16}$；<br/>乙连胜四场的概率为 $\frac{1}{16}$；<br/>丙上场后连胜三场的概率为 $\frac{1}{8}.$<br/>所以需要进行第五场比赛的概率为 $1-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}.$ 备注2 问题3 求丙最终获胜的概率． 答案3 $\frac{7}{16}$ 解析3 解：丙最终获胜，有两种情况：<br/>比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 $\frac{1}{8};$<br/>比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 $\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{8}$．<br/>因此丙最终获胜的概率为 $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{16}.$ 备注3