已知 $A,B$ 分别为椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，$\overline{AG}\cdot\overline{GB}=8$．$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$，$PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$．
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅰ）卷（理）
【标注】
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求 $E$ 的方程；标注答案$\frac{x^2}{9}+y^2=1$解析解：由题设得 $A(-a,0),B(a,0),G(0,1).$
则 $\overrightarrow{AG}=(a,1),\overrightarrow{GB}(a,-1)$．由 $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8$ 得 $a^2-1=8$，即 $a=3$．
所以 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$． -
证明：直线 $CD$ 过定点．标注答案略解析解：设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2),P(6,t).$
若 $t\ne 0$，设直线 $CD$ 的方程为 $x=my+n$，由题意可知 $-3<n<3.$
由于直线 $PA$ 的方程为 $y=\frac{t}{9}(x+3)$，所以 $y_1=\frac{t}{9}(x_1+3).$
直线 $PB$ 的方程为 $y=\frac{t}{3}(x-3)$，所以 $y_2=\frac{t}{3}(x_2-3).$
可得 $3y_1(x_2-3)=y_2(x_1+3).$
由于 $\frac{x_2^2}{9}+y_2^2=1$，故 $y_2^2=-\frac{(x_2+3)(x_2-3)}{9}$，可得 $27y_1y_2=-(x_1+3)(x_2+3)$，即$$(27+m^2)y_1y_2+m(n+3)(y_1+y_2)+(n+3)^2=0 ① $$将 $x=my+n$ 代入 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ 得$$(m^2+9)y^2+2mny+n^2-9=0$$所以 $y_1+y_2=-\frac{2mn}{m^2+9},y_1y_2=\frac{n^2-9}{m^2+9}.$
代入 ① 式得 $(27+m^2)(n^2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)^2(m^2+9)=0.$
解得 $n=-3$（舍去），$n=\frac{3}{2}.$
故直线 $CD$ 的方程为 $x=my+\frac{3}{2}$，即直线 $CD$ 过定点 $(\frac{3}{2},0).$
若 $t=0$，则直线 $CD$ 的方程为 $y=0$，过点 $(\frac{3}{2},0).$
综上，直线 $CD$ 过定点 $(\frac{3}{2},0).$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
