已知函数 $f(x)=e^x+ax^2-x.$
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅰ）卷（理）
【标注】
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当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；标注答案$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增解析解：当 $a=1$ 时，$f(x)=e^x+x^2-x,f'(x)=e^x+2x-1.$
故当 $x\in(-\infty,0)$ 时，$f'(x)<0$；当 $x\in(0,+\infty)$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增． -
当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant \frac{1}{2}x^3+1$，求 $a$ 的取值范围．标注答案$[\frac{7-e^2}{4},+\infty)$解析解：$f(x)\geqslant \frac{1}{2}x^3+1$ 等价于 $(\frac{1}{2}x^3-ax^2+x+1)e^{-x}\leqslant 1.$
设函数 $g(x)=(\frac{1}{2}x^3-ax^2+x+1)e^{-x}(x\geqslant 0)$，则$$g'(x)=-(\frac{1}{2}x^3-ax^2+x+1-\frac{3}{2}x^2+2ax-1)e^{-x}$$$$=-\frac{1}{2}x[x^2-(2a+3)x+4a+2]e^{-x}$$$$=-\frac{1}{2}x(x-2a-1)(x-2)e^{-x}.$$（i）若 $2a+1\leqslant 0$，即 $a\leqslant -\frac{1}{2}$，则当 $x\in(0,2)$ 时，$g'(x)>0.$ 所以 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递增，而 $g(0)=1$，故当 $x\in(0,2)$ 时，$g(x)>1$，不合题意．
（ii）若 $0<2a+1<2$，即 $-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$，则当 $x\in(0,2a+1)\cup(2,+\infty)$ 时，$g'(x)<0$；
当 $x\in(2a+1,2)$ 时，$g'(x)>0$，所以 $g(x)$ 在 $(0,2a+1),(2,+\infty)$ 单调递减，在 $(2a+1,2)$ 单调递增．由于 $g(0)=1$，所以 $g(x)\leqslant 1$ 当且仅当 $g(2)=(7-4a)e^{-2}\leqslant 1$，即 $a\geqslant \frac{7-e^2}{4}.$
所以当 $\frac{7-e^2}{4}\leqslant a<\frac{1}{2}$ 时，$g(x)\leqslant 1.$
（iii）若 $2a+1\geqslant 2$，即 $a\geqslant \frac{1}{2}$，则 $g(x)\leqslant (\frac{1}{2}x^2+x+1)e^{-x}.$
由于 $0\in[\frac{7-e^2}{4},\frac{1}{2}]$，故由（ii）可得 $(\frac{1}{2}x^3+x+1)e^{-x}\leqslant 1.$
故当 $a\geqslant \frac{1}{2}$ 时，$g(x)\leqslant 1.$
综上，$a$ 的取值范围是 $[\frac{7-e^2}{4},+\infty)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
