题目 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\cos^kt,\\y=\sin^kt\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为$$ 4\rho\cos\theta-16\rho\sin\theta+3=0.$$ 问题1 当 $k=1$ 时，$C_1$ 是什么曲线？ 答案1 圆心为坐标原点，半径为 $1$ 的圆 解析1 当 $k=1$ 时，$C_1:\begin{cases}x=\cos t,\\y=\sin t,\end{cases}$ 消去参数 $t$ 得 $x^2+y^2=1$，故曲线 $C_1$ 是圆心为坐标原点，半径为 $1$ 的圆． 备注1 问题2 当 $k=4$ 时，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标． 答案2 $(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$ 解析2 当 $k=4$ 时，$C_1:\begin{cases}x=\cos^4t,\\y=\sin^4t,\end{cases}$ 消去参数 $t$ 得 $C_1$ 的直角坐标方程为 $\sqrt x+\sqrt y=1.$<br/>$C_2$ 的直角坐标方程为 $4x-16y+3=0$．<br/>由 $\begin{cases}\sqrt x+\sqrt y=1,\\4x-16y+3=0\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{1}{4},\\y=\frac{1}{4}.\end{cases}$<br/>故 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点的直角坐标为 $(\frac{1}{4},\frac{1}{4})$． 备注2