已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 为抛物线 $C_2$ 的焦点重合，$C_1$ 的中心与 $C_2$ 的顶点重合．过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $C,D$ 两点，且 $|CD|=\frac{4}{3}|AB|$．
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅱ）卷（理）
【标注】
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求 $C_1$ 的离心率；标注答案$\frac{1}{2}$解析解：由已知可设 $C_2$ 的方程为 $y^2=4cx$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}.$
不妨设 $A,C$ 在第一象限，由题设的 $A<B$ 的纵坐标分别为 $\frac{b^2}{a},-\frac{b^2}{a}$；$C,D$ 的纵坐标分别为 $2c,-2c$，故 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$，$|CD|=4c.$
由 $|CD|=\frac{4}{3}|AB|$ 得 $4c=\frac{8b^2}{3a}$，即 $3\times\frac{c}{a}=2-2(\frac{c}{a})^2$．解得 $\frac{c}{a}=-2$（舍去），$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}.$
所以 $C_1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}.$ -
设 $M$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点，若 $|MF|=5$，求 $C_1$ 与 $C_2$ 的标准方程．标注答案$C_1$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$，$C_2$ 的标准方程为 $y^2=12x$解析解：由（1）知 $a=2c,b=\sqrt3c$，故 $C_1:\frac{x^2}{4c^2}+\frac{y^2}{3c^2}=1.$
设 $M(x_0,y_0)$，则 $\frac{{x_0}^2}{4c^2}+\frac{y_0^2}{3c^2}=1.y_0=4cx_0$，故
$\frac{x_0^2}{4c^2}+\frac{4x_0}{3c}=1. $ ①
由于 $C_2$ 的准线为 $x=-c$，所以 $|MF|=x_0+c$，而 $|MF|=5$，故 $x_0=5-c$，代入 ① 得
$\frac{(5-c)^2}{4c^2}+\frac{4(5-c)}{3c}=1$，即 $c^2-2c-3=0$，解得 $c=-1$（舍去），$c=3.$
所以 $C_1$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$，$C_2$ 的标准方程为 $y^2=12x.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
