已知函数 $f(x)=\sin^2x\sin2x.$
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅱ）卷（理）
【标注】
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讨论 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 的单调性；标注答案$f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{3}),(\frac{2\pi}{3},\pi)$ 单调递增，在 $(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$ 单调递减解析解：$f'(x)=\cos x(\sin x\sin2x)+\sin x(\sin x\sin2x)'$
$=2\sin x\cos x\sin2x+2\sin^2x\cos2x$
$=2\sin x\sin3x.$
当 $x\in(0,\frac{\pi}{3})\cup(\frac{2\pi}{3},\pi)$ 时，$f'(x)>0$；当 $x\in(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$ 时，$f'(x)<0.$
所以 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{3}),(\frac{2\pi}{3},\pi)$ 单调递增，在 $(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$ 单调递减． -
证明：$|f(x)|\leqslant\frac{3\sqrt3}{8}.$标注答案略解析解：因为 $f(0)=f(\pi)=0$，由（1）知，$f(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 的最大值为 $f(\frac{\pi}{3})=\frac{3\sqrt3}{8}.$ 最小值为 $f(\frac{2\pi}{3})=-\frac{3\sqrt3}{8}.$ 而 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的周期函数，故
$|f(x)|\leqslant\frac{3\sqrt3}{8}$ -
设 $n\in \mathbb{N}^{\ast}$，证明：$\sin^2x\sin^22x\sin^24x\cdots\sin^22^nx\leqslant\frac{3^n}{4^n}.$标注答案略解析解：由于
$(\sin^2x\sin^22x\cdots\sin^22^nx)^{\frac{3}{2}}$
$=|\sin^3x\sin^32x\cdots\sin^32^nx|$
$=|\sin x||\sin^2x\sin^32x\cdots\sin^32^{n-1}x\sin2^nx||\sin^22^nx|$
$=|\sin x||f(x)f(2x)\cdots f(2^{n-1}x)||\sin^22^nx|$
$\leqslant |f(x)f(2x)\cdots f(2^{n-1}x)|,$
所以，$\sin^2x\sin^22x\sin^24x\cdots\sin^22^nx\leqslant\left(\frac{3\sqrt3}{8}\right)^{\frac{2n}{3}}=\frac{3^n}{4^n}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
