题目 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 $O$ 在水平线 $MN$ 上，桥 $AB$ 与 $MN$ 平行，$OO'$ 为铅垂线（$O'$ 在 $AB$ 上）．经测量，左侧曲线 $AO$ 上任一点 $D$ 到 $MN$ 的距离 $h_1$（米）与 $D$ 到 $OO'$ 的距离 $a$（米）之间满足关系式 $h_1=\frac{1}{40}a^2$；右侧曲线 $BO$ 上任一点 $F$ 到 $MN$ 的距离 $h_2$（米）与 $F$ 到 $OO'$ 的距离 $b$（米）之间满足关系式 $h_2=-\frac{1}{800}b^3+6b$．已知点 $B$ 到 $OO'$ 的距离为 $40$ 米．<br><img src="/static/images/f24bb7a07f29f3175d7f8f1e810fac80.png" class="img-responsive" /> 问题1 求桥 $AB$ 的长度； 答案1 $120$（米） 解析1 解：设 $AA_1,BB_1,CD_1,EF_1$ 都与 $MN$ 垂直，$A_1,B_1,D_1,F_1$ 是相应垂足．<br/>由条件知，当 $O'B=40$ 时，<br/>$BB_1=-\frac{1}{800}\times40^3+6\times40=160$，则 $AA_1=160.$<br/>由 $\frac{1}{40}O'A^2=160$，得 $O'A=80.$<br/>所以 $AB=O'A+O'B=80+40=120$（米）． 备注1 问题2 计划在谷底两侧建造平行于 $OO'$ 的桥墩 $CD$ 和 $EF$，且 $CE$ 为 $80$ 米，其中 $C,E$ 在 $AB$ 上（不包括端点）．桥墩 $EF$ 每米造价 $k$（万元），桥墩 $CD$ 每米造价 $\frac{3}{2}k$（万元）$(k>0)$，问 $EF,O'E$ 为多少米时，桥墩 $CD$ 与 $EF$ 的总造价最低？ 答案2 $20$ 米 解析2 以 $O$ 为原点，$OO'$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系 $xOy$（如图所示）．<br/>设 $F(x,y_2),x\in(0,40)$，则 $y_2=-\frac{1}{800}x^3+6x$，<br/>$EF=160-y_2=160+\frac{1}{800}x^3-6x.$<br/>因为 $CE=80$，所以 $O'C=80-x.$<br/>设 $D(x-80,y_1)$，则 $y_1=\frac{1}{40}(80-x)^2$，<br/>所以 $CD=160-y_1=160-\frac{1}{40}(80-x)^2=-\frac{1}{40}x^2+4x.$<br/>记桥墩 $CD$ 和 $EF$ 的总造价为 $f(x)$，<br/>则 $f(x)=k(160+\frac{1}{800}x^3-6x)+\frac{3}{2}k(-\frac{1}{40}x^2+4x)$<br/>$=k(\frac{1}{800}x^2-\frac{3}{80}x^2+160)(0<x<40).$<br/>$f'(x)=k(\frac{3}{800}x^3-\frac{3}{40}x)=\frac{3k}{800}x(x-20)$，<br/>令 $f'(x)=0$，得 $x=20$．$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & (0,20) & 20 & (20,40) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{极小值} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$所以当 $x=20$ 时，$f(x)$ 取得最小值． 备注2