题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1、F_2$，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$AF_1\perp F_1F_2$，直线 $AF_1$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$．<br><img src="/static/images/ffabafa1824a7304336da64e51e5c7d4.png" class="img-responsive" /> 问题1 求 $\triangle AF_1F_2$ 的周长； 答案1 $6$ 解析1 解：设椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$，焦距为 $2c$，<br/>则 $a^2=4,b^2=3,c^2=1.$<br/>所以 $\triangle AF_1F_2$ 的周长为 $2a+2c=6.$ 备注1 问题2 在 $x$ 轴上任取一点 $P$，直线 $AP$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$，求 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP}$ 的最小值； 答案2 $-4$ 解析2 解：椭圆 $E$ 的右准线为 $x=4$．<br/>设 $P(x,0),Q(4,y)$，<br/>则 $\overrightarrow{OP}=(x,0),\overrightarrow{QP}=(x-4,-y)$，<br/>$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP}=x(x-4)=(x-2)^2-4\geqslant -4$，<br/>在 $x=2$ 时取等号．<br/>所以 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP}$ 的最小值为 $-4$． 备注2 问题3 设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle OAB$ 与 $\triangle MAB$ 的面积分别为 $S_1,S_2$，若 $S_2=3S_1$，求点 $M$ 的坐标． 答案3 $(2,0)$ 或 $(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$ 解析3 解：因为椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且第一象限内，$AF_2\perp F_1F_2$，则 $F_1(-1,0),F_2(1,0),A(1,\frac{3}{2})$，<br/>所以直线 $AB:3x-4y+3=0.$<br/>设 $M(x,y)$，因为 $S_2=3S_1$，<br/>所以点 $M$ 到直线 $AB$ 距离等于点 $O$ 到直线 $AB$ 距离的 $3$ 倍．<br/>由此得 $\frac{|3x-4y+3|}{5}=3\times\frac{|3\times0-4\times0+3|}{5}.$<br/>则 $3x-4y+12=0$ 或 $3x-4y-6=0.$<br/>由 $\begin{cases}3x-4y+12=0,\\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,\end{cases}$ 得 $7x^2-12x-4=0$，所以 $x=2$ 或 $x=-\frac{2}{7}.$<br/>因此点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$． 备注3