已知椭圆 $C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{m^2}=1(0<m<5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$，$A,B$ 分别为 $C$ 的左右顶点．
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅲ）卷（理）
【标注】
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求 $C$ 的方程；标注答案$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{16}}=1$解析解：由题设可得 $\frac{\sqrt{25-m^2}}{5}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，得 $m^2=\frac{25}{16}$，所以 $C$ 的方程为$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{16}}=1.$$
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若点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x=6$ 上，且 $|BP|=|BQ|,BP\perp BQ$，求 $\triangle APQ$ 的面积．标注答案$\frac{5}{2}$解析解：设 $P(x_P,y_P),Q(6,y_Q)$，根据对称性可设 $y_Q>0$，由题意知 $y_P>0.$
由已知可得 $B(5,0)$，直线 $BP$ 的方程为 $y=-\frac{1}{y_Q}(x-5)$，所以 $|BP|=y_P\sqrt{1+y_Q^2},|BQ|=\sqrt{1+y_Q^2}.$
因为 $|BP|=|BQ|$，所以 $y_Q=1$，将 $y_Q=1$ 代入 $C$ 的方程，解得 $x_P=3\text{或}-3.$
由直线 $BP$ 的方程得 $y_Q=2\text{或}8.$
所以点 $P,Q$ 的坐标分别为 $P_1(3,1),Q_1(6,2);P_2(-3,1),Q_2(6,8).$
$|P_1Q_1|=\sqrt{10}$，直线 $P_1Q_1$ 的方程为 $y=\frac{1}{3}x$，点 $A(-5,0)$ 到直线 $P_1Q_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$，故 $\triangle AP_1Q_1$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{10}}{2}\times\sqrt{10}=\frac{5}{2}.$
$|P_2Q_2|=\sqrt{130}$，直线 $P_2Q_2$ 的方程为 $y=\frac{7}{9}x+\frac{10}{3}$，点 $A$ 到直线 $P_2Q_2$ 的距离为 $\frac{\sqrt{130}}{26}$，
故 $\triangle AP_2Q_2$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{130}}{26}\times\sqrt{130}=\frac{5}{2}.$
综上，$\triangle APQ$ 的面积为 $\frac{5}{2}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
