设 $f(x)=x^3+bx+c,x\in R$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2})\right)$ 处的切线与 $y$ 轴垂直．
【难度】
【出处】
2020高考全国（Ⅲ）卷（理）
【标注】
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求 $b$；标注答案$-\frac{3}{4}$解析解：$f'(x)=3x^2+b$．
依题意得 $f'(\frac{1}{2})=0$，即 $\frac{3}{4}+b=0.$
故 $b=-\frac{3}{4}$． -
若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点，证明：$f(x)$ 所有的零点的绝对值都不大于 $1$．标注答案略解析由（1）知 $f(x)=x^3-\frac{3}{4}x+c,f'(x)=3x^2-\frac{3}{4}.$
令 $f'(x)=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$ 或 $x=\frac{1}{2}.$
$f'(x)$ 与 $f(x)$ 的情况为：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & (-\infty,-\frac{1}{2}) & -\frac{1}{2} & (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} & (\frac{1}{2},+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & c+\frac{1}{4} & \searrow & c-\frac{1}{4} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$以为 $f(1)=f(-\frac{1}{2})=c+\frac{1}{4}$，所以当 $c<-\frac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 只有大于 $1$ 的零点．
因为 $f(-1)=f(\frac{1}{2})=c-\frac{1}{4}$，所以当 $c>\frac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 只有小于 $-1$ 的零点．
由题设可知 $-\frac{1}{4}\leqslant c\leqslant\frac{1}{4}.$
当 $c=-\frac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 只有两个零点 $-\frac{1}{2}$ 和 $1$．
当 $c=\frac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 只有两个零点 $-1$ 和 $\frac{1}{2}$．
当 $-\frac{1}{4}<c<\frac{1}{4}$ 时，$f(x)$ 有三个零点 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1\in(-1,-\frac{1}{2}),x_2\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),x_3\in(\frac{1}{2},1).$
综上，若 $f(x)$ 有一个绝对值不大于 $1$ 的零点，则 $f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
