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已知公比大于 $1$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_4=20,a_3=8$．
【难度】
【出处】
2020年新高考（Ⅰ）卷
【标注】
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    数列
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    等比数列及其性质
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    等比数列的定义与通项
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    等比数列及其性质
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    等比数列的定义与通项
  1. 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
    标注
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      等比数列的定义与通项
    答案
    $a_n=2^n$
    解析
    解：设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$．由题设得 $a_1q+a_1q^3=20,a_1q^2=8.$
    解得 $q=\frac{1}{2}$（舍去），$q=2$．由题设得 $a_1=2.$
    所以 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2^n.$
  2. 记 $b_m$ 为 $\{a_n\}$ 在区间 $(0,m](m\in\mathbb{N}^{\ast})$ 中的项的个数，求数列 $\{b_m\}$ 的前 $100$ 项和 $S_{100}$．
    标注
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    答案
    $480$
    解析
    解：由题设及（1）知，$b_1=0$，且当 $2^n\leqslant m<2^{n+1}$ 时，$b_m=n$，
    所以
    $S_{100}=b_1+(b_2+b_3)+(b_4+b_5+b_6+b_7)+\cdots+(b_{12}+b_{13}+\cdots+b_{63})+(b_{64}+b_{65}+\cdots+b_{100})$
    $=0+1\times2+2\times2^2+3\times2^3+4\times2^4+5\times2^5+6\times(100-63)$
    $=480.$
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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