已知 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成等比数列，且 $a_1+a_2+a_3+a_4=\ln\left(a_1+a_2+a_3\right)$，若 $a_1>1$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2018年高考浙江卷
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据对数函数的性质 $\ln x\leqslant x-1$，等号当且仅当 $x=1$ 时成立．
因此 $a_1+a_2+a_3+a_4=\ln\left(a_1+a_2+a_3\right)\leqslant a_1+a_2+a_3-1$，
所以 $a_4\leqslant -1$，进而公比 $q<0$．
原式可以变形为 $a_1\left(1+q\right)\left(1+q^2\right)=\ln\left[a_1\left(1+q+q^2\right)\right]$
分析两边的符号，若 $q\leqslant-1$，则 $1+q+q^2\ge1$，$\ln\left[a_1\left(1+q+q^2\right)\right]\geqslant\ln a_1>0$．而 $a_1\left(1+q\right)\left(1+q^2\right)\leqslant 0$．
故 $-1<q<0$．$a_3=a_1q^2<a_1$，$a_4=a_2q^2>a_2$．
因此 $a_1+a_2+a_3+a_4=\ln\left(a_1+a_2+a_3\right)\leqslant a_1+a_2+a_3-1$，
所以 $a_4\leqslant -1$，进而公比 $q<0$．
原式可以变形为 $a_1\left(1+q\right)\left(1+q^2\right)=\ln\left[a_1\left(1+q+q^2\right)\right]$
分析两边的符号，若 $q\leqslant-1$，则 $1+q+q^2\ge1$，$\ln\left[a_1\left(1+q+q^2\right)\right]\geqslant\ln a_1>0$．而 $a_1\left(1+q\right)\left(1+q^2\right)\leqslant 0$．
故 $-1<q<0$．$a_3=a_1q^2<a_1$，$a_4=a_2q^2>a_2$．
题目
答案
解析
备注
