题目 已知函数 $f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$． 问题1 当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 答案1 $\frac{2}{e-1}$ 解析1 解：$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，$f'(x)=ax^{x-1}-\frac{1}{x}.$<br/>当 $a=e$ 时，$f(x)=e^x-\ln x+1,f'(1)=e-1$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y-(e+1)=(e-1)(x-1)$，即 $y=(e-1)x+2.$<br/>直线 $y=(e-1)x+2$ 在 $x$ 轴，$y$ 轴上的截距分别为 $\frac{-2}{e-1},2.$<br/>因此所求三角形的面积为 $\frac{2}{e-1}.$ 备注1 问题2 若 $f(x)\geqslant 1$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $[1,+\infty)$ 解析2 解：当 $0<a<1$ 时，$f(1)=a+\ln a<1.$<br/>当 $a=1$ 时，$f(x)=e^{x-1}-\ln x,f'(x)=e^{x-1}-\frac{1}{x}$．当 $x\in(0,1)$ 时，$f'(x)<0$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$f'(x)>0$．所以当 $x=1$ 时，$f(x)$ 取得最小值，最小值为 $f(1)=1$，从而 $f(x)\geqslant 1$．<br/>当 $a>1$ 时，$f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a\geqslant e^{x-1}-\ln x\geqslant 1.$<br/>综上，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$． 备注2