已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，$a_1=b_1=1,a_5=5(a_4-a_3),b_5=4(b_4-b_3)$．
【难度】
【出处】
2020年高考天津卷
【标注】
-
求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=n;b_n=2^{n-1}$解析解：设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$．
由 $a_1=1,a_5=5(a_4-a_3)$，可得 $d=1$，从而 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=n$．
由 $b_1=1,b_5=4(b_4-b_3)$，又 $q\ne 0$，可得 $q^2-4q+4=0$，解得 $q=2$，从而 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=2^{n-1}.$ -
记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_nS_{n+2}<S^2_{n+1}(n\in\mathbb{N}^{\ast})$；标注答案略解析证明：由（1）可得 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，故 $S_nS_{n+2}=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$，$S^2_{n+1}=\frac{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2$，从而 $S_nS_{n+2}-S^2_{n+1}=-\frac{1}{2}(n+1)(n+2)<0$，所以 $S_nS_{n+2}<S^2_{n+1}$．
-
对任意的正整数 $n$，设 $c_n=\begin{cases}\frac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}},n\text{为奇数},\\\frac{a_{n-1}}{b_{n+1}},n\text{为偶数}.\end{cases}$ 求数列 $\{c_n\}$ 的前 $2n$ 项和．标注答案$\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times4^n}-\frac{4}{9}$解析解：当 $n$ 为奇数时，$c_n=\frac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}=\frac{(3n-2)2^{n-1}}{n(n+2)}=\frac{2^{n+1}}{n+2}-\frac{2^{n-1}}{n}$；
当 $n$ 为偶数时，$c_n=\frac{a_{n-1}}{b_{n+1}}=\frac{n-1}{2^n}$．
对任意的正整数 $n$，有$$\sum^n_{k=1}c_{2k-1}=\sum^n_{k=1}\left(\frac{2^{2k}}{2k+1}-\frac{2^{2k-2}}{2k-1}\right)=\frac{2^{2n}}{2n+1}-1,$$和$$\sum^n_{k=1}c_{2k}=\sum^n_{k=1}\frac{2k-1}{4^k}=\frac{1}{4}+\frac{3}{k^2}+\frac{5}{k^3}+\cdots+\frac{2n-1}{4^n}. ① $$由 ① 得$$\frac{1}{4}\sum^n_{k=1}c_{2k}=\frac{1}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\cdots+\frac{2n-3}{4^n}+\frac{2n-1}{4^{n+1}}. ② $$由 ①② 得 $\displaystyle \frac{3}{4}\sum^n_{k=1}c_{2k}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\cdots+\frac{2}{4^n}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}=\frac{\frac{2}{4}(1-\frac{1}{4^n}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}$，
从而得$$\sum^n_{k=1}c_{2k}=\frac{5}{9}-\frac{6n+5}{9\times4^n}.$$因此，$\displaystyle \sum^{2n}_{k=1}c_k=\sum^n_{k=1}c_{2k-1}+\sum^n_{k=1}c_{2k}=\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times4^n}-\frac{4}{9}.$
所以，数列 $\{c_n\}$ 的前 $2n$ 项和为 $\frac{4^n}{2n+1}-\frac{6n+5}{9\times4^n}-\frac{4}{9}.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
