已知数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=b_1=c_1=1,c_n=a_{n-1}-a_n,c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}}c_n,n\in\mathbb{N}^{\ast}.$
【难度】
【出处】
2020年高考浙江卷
【标注】
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若 $\{b_n\}$ 为等比数列，公比 $q>0$，且 $b_1+b_2=6b_3$，求 $q$ 的值及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=\frac{4^n-2}{3}$解析解：$\{b_n\}$ 是等比数列，所以 $b_2=b_1q,b_3=b_1q^2$
$b_1+b_1q=6b_1q^2$，所以 $q=\frac{1}{2}$ 或 $-\frac{1}{2}$（舍）
$c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}}\cdot c_n=4c_n$
所以 $\{c_n\}$ 是以 $1$ 为首项 $4$ 为公比的等比数列
所以 $c_n=4^{n-1}$
所以 $a_n-a_{n-1}=c_n=4^{n-1}$
$\cdots$
$a_2-a_1=4^1$
累加 $a_n-a_1=4^1+\cdots+4^{n-1}=\frac{4(1-4^{n-1})}{1-4}$
所以 $a_n=\frac{4^n-4}{3}+1(n\geqslant 2)$
$=\frac{4^n-1}{3}$
当 $n=1$ 符合上式，所以 $a_n=\frac{4^n-1}{3}$ -
若 $\{b_n\}$ 为等差数列，公差 $d>0$，证明：$c_1+c_2+c_3+\cdots+c_n<1+\frac{1}{d},n\in\mathbb{N}^{\ast}.$标注答案略解析解：$b_n=1+(n-1)d$
因为 $b_{n+2}c_{n+1}=b_nc_n$，所以 $b_{n+1}b_{n+2}c_{n+1}=b_nb_{n+1}c_n$
$=b_{n-1}b_nc_{n-1}=\cdots=b_1b_2c_1=1+d$
所以 $c_{n+1}=\frac{1+d}{b_{n+1}b_{n+2}}$
所以 $c_n=\frac{1+d}{b_nb_{n+1}}=(1+\frac{1}{d})(\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_{n+1}})$
所以 $c_1+\cdots+c_n=(1+\frac{1}{d})(\frac{1}{b_1}-\frac{1}{b_2}+\cdots+\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_{n+1}})$
$=(1+\frac{1}{d})(1-\frac{1}{b_{n+1}})<1+\frac{1}{d}$，得证
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
