已知 $f(x)=\sin\omega x(\omega>0).$
【难度】
【出处】
2020高考上海卷
【标注】
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若 $f(x)$ 的周期是 $4\pi$，求 $\omega$，并求此时 $f(x)=\frac{1}{2}$ 的解集；标注答案$\{x|x=4k\pi+\frac{\pi}{3}$ 或 $x=4k\pi+\frac{5\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\}$解析解：由于 $f(x)$ 的周期是 $4\pi$，所以 $\omega=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$，所以 $f(x)=\sin\frac{1}{2}x$
令 $\sin\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，故 $\frac{1}{2}x=2k\pi+\frac{\pi}{6}$ 或 $2k\pi+\frac{5\pi}{6}$，整理得 $x=4k\pi+\frac{\pi}{3} $ 或 $ x=4k\pi+\frac{5\pi}{3}$
故解集为 $\{x|x=4k\pi+\frac{\pi}{3}$ 或 $x=4k\pi+\frac{5\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\}$ -
已知 $\omega=1,g(x)=f^2(x)+\sqrt3f(-x)f(\frac{\pi}{2}-x),x\in[0,\frac{\pi}{4}]$，求 $g(x)$ 的值域．标注答案$[-\frac{1}{2},0]$解析解：由于 $\omega=1$
所以 $f(x)=\sin x$
所以 $g(x)=\sin^2x+\sqrt3\sin(-x)\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1-\cos2x}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=-\frac{\sqrt3}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\sin(2x+\frac{\pi}{6})$
由于 $x\in[0,\frac{\pi}{4}]$
所以 $\frac{\pi}{6}\leqslant 2x+\frac{\pi}{6}\leqslant \frac{2\pi}{3}$
$\frac{1}{2}\leqslant \sin(2x+\frac{\pi}{6})\leqslant 1$
故 $-1\leqslant -\sin(2x+\frac{\pi}{6})\leqslant -\frac{1}{2}$
故 $-\frac{1}{2}\leqslant g(x)\leqslant 0$
所以函数 $g(x)$ 的值域为 $[-\frac{1}{2},0]$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
