已知：$v=\frac{q}{x},x\in(0,80]$，且 $v=\begin{cases}100-135(\frac{1}{3})^{\frac{80}{x}},x\in(0,40)\\-k(x-40)+85,x\in[40,80]\end{cases}(k>0)$．
【难度】
【出处】
2020高考上海卷
【标注】
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若 $v>95$，求 $x$ 的取值范围；标注答案$(3,40)$解析解：因为 $v=\frac{1}{x}$，所以 $v$ 越大，$x$ 越小
所以 $v=f(x)$ 是单调递减函数，$k>0$
当 $40\leqslant x\leqslant 80$ 时，$v$ 最大为 $85$，
于是只需令 $100-135\cdot(\frac{1}{3})^x>95$，解得 $x>3$，
故道路密度 $x$ 的取值范围为 $(3,40)$． -
已知 $x=80$ 时，$v=50$，求 $x$ 为多少时，$q$ 可以取得最大值，并求出该最大值．标注答案$x$ 取 $\frac{480}{7}$ 是，$q$ 取得最大值为 $\frac{28800}{7}$解析解：把 $x=80,v=50$ 代入 $v=f(x)=-k(x-40)+85$ 中，
得 $50=-k\cdot40+85$，解得 $k=\frac{7}{8}$．
所以 $q=vx=\begin{cases}100x-135\cdot(\frac{1}{3})^x\cdot x,0<x<40\\-\frac{7}{8}(x-40)x+85x,40\leqslant x\leqslant 80\end{cases}$
当 $0<x<40$ 时，$q$ 单调递增，$q<100\times40-135\times(\frac{1}{3})^40\times40\approx4000;$
当 $40\leqslant x\leqslant 80$ 时，$q$ 是关于 $x$ 的二次函数，开口向下，对称轴为 $x=\frac{480}{7}$，
此式 $q$ 有最大值，为 $-\frac{7}{8}\times(\frac{480}{7})^2+120\times\frac{480}{7}=\frac{28800}{7}>4000$．
故车辆密度 $q$ 的最大值为 $\frac{28800}{7}$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
