有限数列 $\{a_n\}$，若满足 $|a_1-a_2|\leqslant |a_1-a_3|\leqslant\cdots\leqslant |a_1-a_m|$，$m$ 是项数，则称 $\{a_n\}$ 满足性质 $P$．
【难度】
【出处】
2020高考上海卷
【标注】
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判断数列 $\{3,2,5,1\}$ 和 $\{4,3,2,5,1\}$ 是否具有性质 $P$，请说明理由．标注答案略解析解：对于数列 $\{3,2,5,1\}$，有 $|2-3|=1,|5-3|=2,|1-3|=2$，满足题意，该数列满足性质 $P$；
对于第二个数列 $\{4,3,2,6,1\}$，有 $|3-4|=1,|2-4|=2,|5-4|=1$，不满足题意，该数列不满足性质 $P$． -
若 $a_1=1$，公比为 $q$ 的等比数列，项数为 $10$，具有性质 $P$，求 $q$ 的取值范围．标注答案$(-\infty,-2]\cup(0,+\infty)$解析解：由题意：$|a_1-a_1q^n|\geqslant |a_1-a_1q^{n-1}|$，可得：$|q^n-1|\geqslant |q^{n-1}-1|,n\in\{2,3,\cdots,9\}$，
两边平方可得：$q^{2n}-2q^n+1\geqslant q^{2n-2}-2q^{n-1}+1$，
整理可得：$(q-1)q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\geqslant 0$，当 $q\geqslant 1$ 时，得 $q^{n-1}(q+1)-2\geqslant 0$ 此时关于 $n$ 恒成立，
所以等价于 $n=2$ 时，$q(q+1)-2\geqslant 0$，
所以，$(q+2)(q-1)\geqslant 0$，所以 $q\leqslant -2$，或 $q\geqslant 1$，所以取 $q\geqslant 1$，
当 $0<q\leqslant 1$ 时，得 $q^{n-1}(q+1)-2\leqslant 0$，此时关于 $n$ 恒成立，所以等价于 $n=2$ 时，$q(q+1)-2\leqslant 0$，
所以 $(q+2)(q-1)\leqslant 0$，所以 $-2\leqslant q\leqslant 1$，所以取 $0<q\leqslant 1.$
当 $-1\leqslant q<0$ 时：$q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\leqslant 0$，
当 $n$ 为奇数时，得 $q^{n-1}(q+1)-2\leqslant 0$，恒成立，当 $n$ 为偶数时，$q^{n-1}(q+1)-2\geqslant 0$，不恒成立；
故当 $-1\leqslant q<0$ 时，矛盾，舍去．
当 $q<-1$ 时，得 $q^{n-1}[q^{n-1}(q+1)-2]\leqslant 0$，当 $n$ 为奇数时，得 $q^{n-1}(q+1)-2\leqslant 0$，恒成立，
当 $n$ 为偶数时，$q^{n-1}(q+1)-2\geqslant 0$，恒成立；故等价于 $n=2$ 时，$q(q+1)-2\geqslant 0$，
所以 $(q+2)(q-1)\geqslant 0$，所以 $q\leqslant -2$ 或 $q\geqslant 1$，所以取 $q\leqslant -2$，
综上，$q\in(-\infty,-2]\cup(0,+\infty)$． -
若 $a_n$ 是 $1,2,\cdots,m$ 的一个排列（$m\geqslant 4$），$b_k=a_{k+1}(k=1,2,\cdots,m-1)$，$\{a_n\},\{b_n\}$ 都具有性质 $P$，求所有满足条件的 $\{a_n\}$．标注答案略解析解：设 $a_1=p,p\in\{3,4,\cdots,m-3,m-2\}$，
因为 $a_1=p,a_2$ 可以取 $p-1$，或 $p+1$，$a_3$ 可以取 $p-2$，或 $p+2$，
如果 $a_2$ 或 $a_3$ 取了 $p-3$ 或 $p+3$，将使 $\{a_n\}$ 不满足性质 $P$；所以 $\{a_n\}$ 的前 $5$ 项有以下组合：
① $a_1=p,a_2=p-1;a_3=p+1;a_4=p-2;a_5=p+2;$
② $a_1=p,a_2=p-1;a_3=p+1,a_4=p+2;a_5=p-2;$
③ $a_1=p,a_2=p+1;a_3=p-1;a_4=p-2;a_5=p+2;$
④ $a_1=p,a_2=p+1;a_3=p-1;a_4=p+2;a_5=p-2;$
对于 ①，$b_1=p-1,|b_2-b_1|=2,|b_3-b_1|=1$，与 $\{b_n\}$ 满足性质 $P$ 矛盾，舍去；
对于 ②，$b_1=p-1,|b_2-b_1|=2,|b_3-b_1|=3,|b_4-b_1|=2$ 与 $\{b_n\}$ 满足性质 $P$ 矛盾，舍去；
对于 ③，$b_1=p+1,|b_2-b_1|=2,|b_3-b_1|=3,|b_4-b_1|=1$，与 $\{b_n\}$ 满足性质 $P$ 矛盾，舍去；
对于 ④ $b_1=p+1,|b_2-b_1|=2,|b_3-b_1|=1$，与 $\{b_n\}$ 满足性质 $P$ 矛盾，舍去；
所以 $P\in\{3,4,\cdots,m-3,m-2\}$，均不能同时使 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都具有性质 $P$．
当 $p=1$ 时，有数列 $\{a_n\}:1,2,3,\cdots,m-1,m$ 满足题意．
当 $p=m$ 时，有数列 $\{a_n\}:m,m-1,\cdots,3,2,1$ 满足题意．
当 $p=2$ 时，有数列 $\{a_n\}:2,1,3,\cdots,m-1,m$ 满足题意．
当 $p=m-1$ 时，有数列 $\{a_n\}:m-1,m,m-2,m-3,\cdots,3,2,1$ 满足题意．
所以满足题意的数列 $\{a_n\}$ 只有以上四种．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
