题目 在 $\triangle ABC$ 中，$a+b=11$，再从条件 ①、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知，求：<br/>条件 ①：$c=7,\cos A=-\frac{1}{7};$<br/>条件 ②：$\cos A=\frac{1}{8},\cos B=\frac{9}{16}.$<br/>注：如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答，按第一个解答计分． 问题1 $a$ 的值； 答案1 略 解析1 选择条件 ①：由余弦定理得 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即 $a^2-b^2=49-14b\times(-\frac{1}{7})=49+2b$，<br/>所以 $(a+b)(a-b)=49+2b,$<br/>因为 $a+b=11$，<br/>所以 $11a-11b=49-2b$，<br/>即 $11a-9b=49$，<br/>联立 $\begin{cases}a+b=11\\11a-9b=49\end{cases}$，解得 $a=8,b=3$，<br/>故 $a=8$．<br/>选择条件 ②：在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A>0,\sin B>0,C=\pi-(A+B)$，<br/>因为 $\cos A=\frac{1}{8},\cos B=\frac{9}{16}$，<br/>所以 $\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{2\sqrt7}{8},\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{5\sqrt7}{16}$，<br/>由正弦定理可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，<br/>所以 $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{6}{5}$，<br/>因为 $a+b=11$，<br/>所以 $a=6,b=5$，<br/>故 $a=6$． 备注1 问题2 $\sin C$ 和 $\triangle ABC$ 的面积． 答案2 略 解析2 选择条件 ①：在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A>0$，<br/>所以 $\sin A=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4\sqrt3}{7}$，<br/>由正弦定理可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，<br/>所以 $\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{7\times\frac{4\sqrt3}{7}}{8}=\frac{\sqrt3}{2}$，<br/>所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times8\times3\times\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$．<br/>选择条件 ②：在 $\triangle ABC$ 中，$C=\pi-(A+B)$，<br/>所以 $\sin C=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{2\sqrt7}{8}\times\frac{9}{16}\times+\frac{5\sqrt7}{16}\times\frac{1}{8}=\frac{\sqrt7}{4}$．<br/>所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times6\times5\times\frac{\sqrt7}{4}=\frac{15\sqrt7}{4}$． 备注2