已知函数 $f(x)=12-x^2.$
【难度】
【出处】
2020年高考北京卷
【标注】
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求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 $-2$ 的切线方程；标注答案$y=-2x+13$解析解：$f(x)=12-x^2$ 的导数 $f'(x)=-2x$，
令切点为 $(m,n)$，可得切线的斜率为 $-2m=-2$，
所以 $m=1$，所以 $n=12-1=11$，
所以切线的方程为 $y=-2x+13$． -
设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$，求 $S(t)$ 的最小值．标注答案$32$解析解：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$ 处的切线的斜率为 $k=-2t$，
切线方程为 $y-(12-t^2)=-2t(x-t)$，
令 $x=0$，可得 $y=12+t^2$，令 $y=0$，可得 $x=\frac{1}{2}t+\frac{6}{t}$，
所以 $S(t)=\frac{1}{2}\cdot|\frac{1}{2}t+\frac{6}{t}|\cdot(12+t^2)$，
由 $S(-t)=S(t)$，可知 $S(t)$ 为偶函数，
不妨设 $t>0$，则 $S(t)=\frac{1}{4}(t+\frac{12}{t})(12+t^2)$，
所以 $S'(t)=\frac{1}{4}(3t^2+24-\frac{144}{t^2})=\frac{3}{4}\cdot\frac{(t^2-4)(t^2+12)}{t^2}$，
由 $S'(t)==0$，得 $t=2$，
当 $t>2$ 时，$S'(t)>0,S(t)$ 递增；当 $0<t<2$ 时，$S'(t)<0$，$S(t)$ 递减，
则 $S(t)$ 在 $t=2$ 处取得极小值，且为最小值为 $32$，
所以 $S(t)$ 的最小值为 $32$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
