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为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $PM 2.5$ 和 $SO_2$ 浓度（单位：$\mu\text{g/m}^3$），得下表：附：$$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},$$
【难度】
【出处】
2020年新高考（Ⅱ）卷
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    统计
    >
    数据的记录
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    统计
    >
    数据的记录
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    统计
    >
    独立性检验
  1. 估计事件“该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度不超过 $75$，且 $SO_2$ 浓度不超过 $150$”的概率；
    标注
    • 知识点
      >
      计数与概率
      >
      统计
      >
      数据的记录
    答案
    $0.64$
    解析
    解：根据抽查数据，该市 $100$ 天的空气中 $PM2.5$ 浓度不超过 $75$，且 $SO_2$ 浓度不超过 $150$ 的天数为 $32+18+6+8=64$．因此，该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度不超过 $75$，且 $SO_2$ 浓度不超过 $150$ 的概率的估计值为 $\frac{64}{100}=0.64.$
  2. 根据所给数据，完成下面的 $2\times2$ 列联表：
    标注
    • 知识点
      >
      计数与概率
      >
      统计
      >
      数据的记录
    答案
    略
    解析
    ：根据抽查数据，可得 $2\times2$ 列联表：$$\begin{array}{ccc} & [0,150] & (150,475] \\ [0,75] & 64 & 16 \\ (75,115] & 10 & 10 \end{array}$$
  3. 根据（2）中的列联表，判断是否有 $99\%$ 把握认为该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度与 $SO_2$ 浓度有关？
    标注
    • 知识点
      >
      计数与概率
      >
      统计
      >
      独立性检验
    答案
    有把握
    解析
    $$K^2=\frac{100\times(64\times10-16\times10)^2}{80\times20\times74\times36}\approx7.484.$$由于 $7.484>6.635$，故由 $99\%$ 的把握认为该市一天空气中 $PM2.5$ 浓度与 $SO_2$ 浓度有关．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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