设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数．
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（理）
【标注】
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求函数 $f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^{r + 1}} - \left( {r + 1} \right)x - 1\left(x > - 1\right)$ 的最小值；标注答案$0$解析先求单调性，结合单调性求最值即可．因为\[\begin{split}f'\left( x \right) &= \left( {r + 1} \right){\left( {1 + x} \right)^r} - \left( {r + 1} \right)\\ & = \left( {r + 1} \right)\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^r} - 1} \right],\end{split}\]令 $f'\left( x \right) = 0$，解得\[x = 0.\]当 $ - 1 < x < 0$ 时，$f'\left( x \right) < 0$，所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,0} \right)$ 内是减函数；
当 $x > 0$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 内是增函数．
故函数 $f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处取得最小值\[f\left( 0 \right) = 0.\] -
证明：$\dfrac{{{n^{r + 1}} - {{\left( {n - 1} \right)}^{r + 1}}}}{r + 1} < {n^r} < \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{r + 1}} - {n^{r + 1}}}}{r + 1};$标注答案略解析本题需要借助题干中的函数与第一问的结论构造合适的函数来证明．由（1）知，当 $x \in \left( { - 1, + \infty } \right)$ 时，$f\left( x \right) \geqslant f\left( 0 \right) = 0$，即\[{\left( {1 + x} \right)^{r + 1}} \geqslant 1 + \left( {r + 1} \right)x,\]当且仅当 $x = 0$ 时等号成立，故当 $x > - 1$ 且 $x \ne 0$ 时，有\[{\left( {1 + x} \right)^{r + 1}} > 1 + \left( {r + 1} \right)x. \quad\cdots\cdots ① \]在 ① 中，令 $x = \dfrac{1}{n}$（这时 $x > - 1$ 且 $x \ne 0$），得\[{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^{r + 1}} > 1 + \dfrac{r + 1}{n}.\]上式两边同乘 ${n^{r + 1}}$，得 ${\left( {n + 1} \right)^{r + 1}} > {n^{r + 1}} + {n^r}\left( {r + 1} \right)$，即\[{n^r} < \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{r + 1}} - {n^{r + 1}}}}{r + 1} .\quad\cdots\cdots ② \]当 $n > 1$ 时，在 ① 中令 $x = - \dfrac{1}{n}$（这时 $x > - 1$ 且 $x \ne 0$），类似可得\[{n^r} > \dfrac{{{n^{r + 1}} - {{\left( {n - 1} \right)}^{r + 1}}}}{r + 1}. \quad\cdots\cdots ③ \]且当 $n = 1$ 时，③ 也成立．
综合 ②③，得\[\dfrac{{{n^{r + 1}} - {{\left( {n - 1} \right)}^{r + 1}}}}{r + 1} < {n^r} < \dfrac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{r + 1}} - {n^{r + 1}}}}{r + 1}. \quad\cdots\cdots ④ \] -
设 $x \in {\mathbb{R}}$，记 $\left[ x \right]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $\left[ 2 \right] = 2$，$\left[ {\mathrm \pi} \right] = 4$，$\left[ { - \dfrac{3}{2}} \right] = - 1$．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}$，求 $\left[ S \right]$ 的值．
（参考数据：${80^{\frac{4}{3}}} \approx 344.7$，${81^{\frac{4}{3}}} \approx 350.5$，${124^{\frac{4}{3}}} \approx 618.3$，${126^{\frac{4}{3}}} \approx 631.7$）标注答案$ 211$解析本题可以列出范围后，叠加得到 $S$ 的表达式，从而估计其值．在 ④ 中，令 $r = \dfrac{1}{3}$，$n$ 分别取值 $81,82,83, \cdots ,125$，得\[\begin{split}\dfrac{3}{4}\left( {{{81}^{\frac{4}{3}}} - {{80}^{\frac{4}{3}}}} \right) &< \sqrt[3]{81} < \dfrac{3}{4}\left( {{{82}^{\frac{4}{3}}} - {{81}^{\frac{4}{3}}}} \right) , \\ \dfrac{3}{4}\left( {{{82}^{\frac{4}{3}}} - {{81}^{\frac{4}{3}}}} \right) &< \sqrt[3]{82} < \dfrac{3}{4}\left( {{{83}^{\frac{4}{3}}} - {{82}^{\frac{4}{3}}}} \right) , \\ \dfrac{3}{4}\left( {{{83}^{\frac{4}{3}}} - {{82}^{\frac{4}{3}}}} \right) &< \sqrt[3]{83} < \frac{3}{4}\left( {{{84}^{\frac{4}{3}}} - {{83}^{\frac{4}{3}}}} \right) , \\ \cdots \cdots, \\ \dfrac{3}{4}\left( {{{125}^{\frac{4}{3}}} - {{124}^{\frac{4}{3}}}} \right) &< \sqrt[3]{125} < \frac{3}{4}\left( {{{126}^{\frac{4}{3}}} - {{125}^{\frac{4}{3}}}} \right).\end{split}\]将以上各式相加并整理，得\[\dfrac{3}{4}\left( {{{125}^{\frac{4}{3}}} - {{80}^{\frac{4}{3}}}} \right) < S < \dfrac{3}{4}\left( {{{126}^{\frac{4}{3}}} - {{81}^{\frac{4}{3}}}} \right).\]代入数据计算，可得\[\begin{split}\dfrac{3}{4}\left( {{{125}^{\frac{4}{3}}} - {{80}^{\frac{4}{3}}}} \right) &\approx 210.2 ,\\ \dfrac{3}{4}\left( {{{126}^{\frac{4}{3}}} - {{81}^{\frac{4}{3}}}} \right) &\approx 210.9.\end{split}\]由 $\left[ S \right]$ 的定义，得 $\left[ S \right] = 211$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
