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  等比数列及其性质

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  等比数列的对称互补性
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  等差数列的定义与通项

$d = - { 1 }$ 或 $ d = { 4 }$．
${a_n} = - n + 11\left( {n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right)$ 或 $ {a_n} = { 4 }n + { 6 }\left( {n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right)$．

代入基本量求解即可．由 ${a_1}$，$2{a_2} + 2$，$5{a_3}$ 成等比数列得\[{a_{ 1 }} \cdot { 5 }{a_{ 3 }} = {\left( {{ 2 }{a_{ 2 }} + { 2 }} \right)^{ 2 }},\]由 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列得\[5a_1\left(a_1+2d\right)=4\left(a_1+d+1\right)^2,\]又 ${a_1} = 10$，可解得\[d = - { 1 } 或 d = { 4 }.\]所以\[{a_n} = - n + 11\left( {n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right) 或 {a_n} = { 4 }n + { 6 }\left( {n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right).\]

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  等差数列的前n项和

$\left| {{a_{ 1 }}} \right| + \left| {{a_{ 2 }}} \right| + \left| {{a_{ 3 }}} \right| + \cdots + \left| {a_n} \right| = {\begin{cases}
- \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{21}{2}n,&n \leqslant 11, \\
\dfrac{1}{2}{n^2} - \dfrac{21}{2}n + 110,&n \geqslant 12 .\\
\end{cases}}$

带绝对值时，注意分类讨论．设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$．因为 $d < 0$，由（1）得\[d = - { 1 },{a_n} = - n + 11.\]当 $n \leqslant 11$ 时\[a_n\geqslant 0,\]所以当 $n \leqslant 11$ 时，\[\begin{split}&\left| {a_1} \right| + \left| {a_2} \right| + \left| {a_3} \right| + \cdots + \left| {a_n} \right|\\& = {S_n}\\&\overset{\left[a\right]} = - \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{21}{2}n;\end{split}\]（推导中用到：[a]）
当 $n \geqslant 12$ 时，\[\begin{split}&\left| {{a_{ 1 }}} \right| + \left| {{a_{ 2 }}} \right| + \left| {{a_{ 3 }}} \right| + \cdots + \left| {a_n} \right|\\ &= - {S_n} + { 2 }{S_{ 11 }} \\&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{1}{2}{n^{ 2 }} - \dfrac{21}{2}n + 110.\end{split}\]（推导中用到：[b]）综上所述，\[\left| {{a_{ 1 }}} \right| + \left| {{a_{ 2 }}} \right| + \left| {{a_{ 3 }}} \right| + \cdots + \left| {a_n} \right| = {\begin{cases}- \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{21}{2}n,&n \leqslant 11, \\
\dfrac{1}{2}{n^2} - \dfrac{21}{2}n + 110,&n \geqslant 12 .\\
\end{cases}}\]