题目 设袋子中装有 $a$ 个红球，$b$ 个黄球，$c$ 个蓝球，且规定：取出一个红球得 $ 1 $ 分，取出一个黄球 $ 2 $ 分，取出一个蓝球得 $ 3 $ 分． 问题1 当 $a = 3$，$ b = 2 $，$c = 1$ 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）$ 2 $ 个球，记随机变量 $\xi $ 为取出此 $ 2 $ 个球所得分数之和，求 $\xi $ 的分布列； 答案1 $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline\xi & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & \dfrac 14 & \dfrac 13 & \dfrac 5{18} & \dfrac 19 & \dfrac 1{36} \\ \hline\end{array}$ 解析1 这是古典概型的分布列．由题意得 $\xi$ 可能的取值为 $2$，$3$，$ 4 $，$5$，$6$．\[\begin{split} P\left( {\xi = 2} \right) &= \dfrac{3 \times 3}{6 \times 6} = \dfrac{1}{4},\\<br/>P\left( {\xi = 3} \right) &= \dfrac{2 \times 3 \times 2}{6 \times 6} = \dfrac{1}{3},\\<br/>P\left( {\xi = 4} \right) &= \dfrac{2 \times 3 \times 1 + 2 \times 2}{6 \times 6} = \dfrac{5}{18},\\<br/>P\left( {\xi = 5} \right) &= \dfrac{2 \times 2 \times 1}{6 \times 6} = \dfrac{1}{9},\\<br/>P\left( {\xi = 6} \right) &= \dfrac{1 \times 1}{6 \times 6} = \dfrac{1}{36}.\end{split}\]（推导中用到）<br/>所以 $\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline\xi & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P & \dfrac 14 & \dfrac 13 & \dfrac 5{18} & \dfrac 19 & \dfrac 1{36} \\ \hline\end{array}\] 备注1 问题2 从该袋子中任取（每球取到的机会均等）$ 1 $ 个球，记随机变量 $\eta $ 为取出此球所得分数．若 $E\eta = \dfrac{5}{3}$，$D\eta = \dfrac{5}{9}$，求 $a:b:c$． 答案2 $a:b:c = 3 : 2: 1$ 解析2 列出分布列，期望和方差的公式计算．由题意知 $\eta $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\eta & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \dfrac a{a+b+c} & \dfrac b{a+b+c} & \dfrac c{a+b+c} \\ \hline \end{array}\]所以\[\begin{split}{ E }\eta &= \dfrac{a}{a + b + c} + \dfrac{2b}{a + b + c} + \dfrac{3c}{a + b + c} = \dfrac{5}{3} ,\\<br/>{ D }\eta &= {\left( {1 - \dfrac{5}{3}} \right)^2} \cdot \dfrac{a}{a + b + c} + {\left( {2 - \dfrac{5}{3}} \right)^2} \cdot \dfrac{b}{a + b + c} + {\left( {3 - \dfrac{5}{3}} \right)^2}\\& \cdot \dfrac{c}{a + b + c}= \dfrac{5}{9}, \end{split}\]化简得\[{\begin{cases}2a - b - 4c = 0, \\<br/>a + 4b - 11c = 0 .\\<br/>\end{cases}}\]解得 $a = 3c$，$b =2c$，故\[a:b:c = 3 : 2: 1.\] 备注2