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  向量的数量积

略．

将向量的模长转化为数量积的点乘运算即可．由题意得 ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = 2$，则根据平面向量的数量积可得\[\begin{split} {\left( {\overrightarrow a -\overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b} = 2.\end{split} \]又 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=\cos ^2\alpha+\sin^2\alpha=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=1$，所以\[2 - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2,\]即 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$，故 $\overrightarrow a \perp \overrightarrow b $．

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  三角函数

$a = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}$，$\beta = \dfrac{\mathrm \pi} {6}$．

根据向量相等的坐标关系，得出相等关系式，再结合三角函数的性质，求出结果．因为 $ \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\cos \alpha + \cos \beta ,\sin \alpha + \sin \beta } \right) = \left( {0,1} \right)$，所以\[\begin{cases}
\cos \alpha + \cos \beta = 0,\\
\sin \alpha + \sin \beta = 1,\\
\end{cases}\]根据诱导公式有 $\cos \left({\mathrm \pi} -\beta\right)=-\cos \beta$，所以\[\cos \alpha = \cos \left( {{\mathrm \pi} - \beta } \right),\]由 $0 < \beta < {\mathrm \pi} $，得 $0 < {\mathrm \pi} - \beta < {\mathrm \pi} $，又 $0 < \alpha < {\mathrm \pi} $，因为 $y=\cos x$ 在 $\left(0,{\mathrm \pi} \right)$ 上单调，所以可得\[\alpha = {\mathrm \pi} - \beta .\]代入 $\sin \alpha + \sin \beta = 1$，得\[\sin \left({\mathrm \pi} -\beta\right)+\sin \beta=1,\]即 $\sin \beta+\sin \beta=1$，所以\[\sin \alpha = \sin \beta = \dfrac{1}{2},\]而 $\alpha > \beta $，所以 $a = \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6},\beta = \dfrac{\mathrm \pi} {6} $．