题目 如图，游客从某旅游景区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径．一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$，另一种是先从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$．现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $AC$ 匀速步行，速度为 $50{\mathrm{m {/} min}}$．在甲出发 $2{\mathrm{min}} $ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$，在 $B$ 处停留 $1{\mathrm{min}} $ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$．假设缆车匀速直线运动的速度为 $130{\mathrm{m{/}min}} $，山路 $AC$ 长为 $1260{\mathrm{m}}$，经测量，$\cos A = \dfrac{12}{13},\cos C = \dfrac{3}{5}$．<br><img src="/static/images/8940f3db1026641f60a3b108e850b5bf.png" class="img-responsive" />  问题1 求索道 $AB$ 的长； 答案1 索道 $AB$ 的长为 $1040 {\mathrm{m}}$ 解析1 $\triangle ABC$ 中已知两角一边，可以先根据三角形内角和 $180^\circ$ 及和差角公式，求出另一角，再结合正弦定理求出 $AB$．在 $\triangle ABC$ 中，因为 $\cos A = \dfrac{12}{13} , \cos C = \dfrac{3}{5}$，所以根据同角三角函数的基本关系可得\[\sin A = \dfrac{5}{13} , \sin C = \dfrac{4}{5},\]从而\[ \begin{split} \sin B &= \sin \left[ {{\mathrm \pi} - \left( {A + C} \right)} \right] \\ & \overset{\left[a\right]}= \sin \left(A + C\right) \\& \overset{\left[b\right]}= \sin A\cos C + \cos A\sin C \\ & = \dfrac{5}{13} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{12}{13} \times \dfrac{4}{5} \\ & = \dfrac{63}{65}.\end{split} \]（推导中用到：[a]，[b]）<br/>由正弦定理$\dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{AC}{\sin B}$，得\[ \begin{split} AB &= \dfrac{AC}{\sin B} \cdot \sin C \\ & = \dfrac{1260}{{\dfrac{63}{65}}} \times \dfrac{4}{5} \\ & = 1040\left( {\mathrm{m}} \right),\end{split} \]所以索道 $AB$ 的长为 $1040 {\mathrm{m}}$． 备注1 问题2 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 答案2 $\dfrac{35}{37}\left( {{\mathrm{min}} } \right)$ 解析2 假设出发 $t$ 分钟后距离最近，利用余弦定理表达出距离即可．设乙出发 $t{\mathrm{min}} $ 后，甲、乙两游客距离为 $d$，<br/>此时，甲行走了 $\left( {100 + 50t} \right){\mathrm{m}}$，乙距离 $A$ 处 $130t{\mathrm{m}}$，<br/>所以，由余弦定理得\[ \begin{split} {d^2} &= {\left( {100 + 50t} \right)^2} + {\left( {130t} \right)^2} - 2 \times 130t \times \left( {100 + 50t} \right) \times \dfrac{12}{13} \\ & = 200\left( {37{t^2} - 70t + 50} \right).\end{split} \]由于 $0 \leqslant t \leqslant \dfrac{1040}{130}$，即\[0 \leqslant t \leqslant 8,\]故当 $t = \dfrac{35}{37}\left( {{\mathrm{min}} } \right)$ 时，甲、乙两游客距离最短． 备注2 问题3 为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3$ 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案3 乙步行的速度应控制在 $\left[ {\dfrac{1250}{43},\dfrac{625}{14}} \right]$（单位：${\mathrm{m{/}min}}$）范围内 解析3 假设乙的步行速度为 $v$，表示出乙到达 $C$ 点需要的时间，同时计算出从乙开始出发时，甲到达 $C$ 点，需要的时间，两个时间差不超过 $3$ 分钟即可．由正弦定理$\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$，得\[ \begin{split} BC &= \dfrac{AC}{\sin B} \cdot \sin A \\ & = \dfrac{1260}{{\dfrac{63}{65}}} \times \dfrac{5}{13} \\ & = 500\left( {\mathrm{m}} \right).\end{split} \]乙从 $B$ 出发时，甲已走了\[50 \times \left( {2 + 8 + 1} \right) = 550\left( {\mathrm{m}} \right),\]还需走 $710{\mathrm{m}}$ 才能到达 $C$．设乙步行的速度为 $v{\mathrm{m{/}min}}$，由题意得\[ - 3 \leqslant \dfrac{500}{v} - \dfrac{710}{50} \leqslant 3,\]解此分式不等式得\[\dfrac{1250}{43} \leqslant v \leqslant \dfrac{625}{14},\]所以为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过 $3{\mathrm{min}} $，<br/>乙步行的速度应控制在 $\left[ {\dfrac{1250}{43},\dfrac{625}{14}} \right]$（单位：${\mathrm{m{/}min}}$）范围内． 备注3