题目 设 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是首项为 $a$，公差为 $d$ 的等差数列 $\left(d \ne 0\right)$，${S_n}$ 是其前 $n$ 项和．记 ${b_n} = \dfrac{{n{S_n}}}{{{n^2} + c}}$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，其中 $c$ 为实数． 问题1 若 $c = 0$，且 ${b_1}$，${b_2}$，${b_4}$ 成等比数列，证明：${S_{nk}} = {n^2}{S_k} \left( k,n \in {{\mathbb{N}}^*} \right)$； 答案1 略． 解析1 根据等差数列的概念与性质结合题中条件求解即可．根据等差数列求和公式得 $S_n=na+\dfrac {n\left(n-1\right)}2d$．<br/>若 $c = 0$，则\[{b_n} = \dfrac{S_n}{n} = a + \dfrac{n - 1}{2}d,\]又因为 ${b_1}$，${b_2}$，${b_4}$ 成等比数列，所以 $b_2^2 = {b_1}{b_4}$，即\[{\left( {a + \dfrac{d}{2}} \right)^2} = a\left( {a + \dfrac{3d}{2}} \right),\]化简得\[{d^2} - 2ad = 0.\]因为 $d \ne 0$，所以 $d = 2a$．根据等差数列求和公式，对于所有的 $m \in {{\mathbb{N}}^*}$，有\[{S_m} = {m^2}a.\]从而对于所有的 $k,n \in {{\mathbb{N}}^*}$，有\[{S_{nk}} = {\left(nk\right)^2}a = {n^2}{k^2}a = {n^2}{S_k}.\] 备注1 问题2 若 $\left\{ {b_n}\right\} $ 是等差数列，证明：$c = 0$． 答案2 略． 解析2 根据等差数列的概念，将题中代数式进行变形，利用恒成立可得出所需代数式．设数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的公差是 ${d_1}$，则根据等差数列通项公式得\[{b_n} = {b_1} + \left( {n - 1} \right){d_1},\]即\[\dfrac{{n{S_n}}}{{{n^2} + c}} = {b_1} + \left( {n - 1} \right){d_1},n \in {{\mathbb{N}}^*},\]代入 ${S_n}$ 的表达式，整理得，对于所有的 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，有\[\left( {{d_1} - \dfrac{1}{2}d} \right){n^3} + \left( {{b_1} - {d_1} - a + \dfrac{1}{2}d} \right){n^2} + c{d_1}n -c\left( {{d_1} - {b_1}} \right)=0.\]此式若恒成立，则\[cd_1=c\left(d_1-b_1\right)=0,\]因为 $d_1\ne 0$，所以 $c=0$．<br/>当 $c=0$ 时，$b_n=\dfrac {S_n}n=a+\dfrac {n-1}2d$，当 $n\geqslant 2$ 时 $b_n-b_{n-1}=\dfrac d2$，所以此时 $b_n$ 为等差数列．综上，$c=0$ 得证． 备注2