设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的左焦点为 $F$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\dfrac{4\sqrt 3 }{3}$．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
-
求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$解析本题考查椭圆方程的计算，结合题意构造方程即可．设 $F\left( { - c,0} \right)$，由 $\dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 3 }{3}$，知\[a = \sqrt 3 c.\]过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线为 $x = - c$，代人椭圆方程有\[\dfrac{{{{\left( { - c} \right)}^2}}}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\]解得\[y = \pm \dfrac{\sqrt 6 b}{3},\]于是 $\dfrac{2\sqrt 6 b}{3} = \dfrac{4\sqrt 3 }{3}$，解得\[b = \sqrt 2 ,\]又 ${a^2} - {c^2} = {b^2}$，从而\[a = \sqrt 3,c = 1,\]所以椭圆的方程为\[\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1.\]
-
设 $A$，$B$ 分别为椭圆的左右顶点，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C$，$D$ 两点．若 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CB} = 8$，求 $k$ 的值．标注答案$ \pm \sqrt 2$解析本题常规问题，利用直线的斜率 $k$ 表达向量数量积得到相应的方程进行．设点 $C\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$ D\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，由 $F\left( { - 1,0} \right)$ 得直线 $CD$ 的方程为\[y = k \left(x + 1 \right),\]与椭圆方程联立得方程组\[{\begin{cases}
y = k\left( {x + 1} \right), \\
\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1, \\
\end{cases}}\]消去 $y$，整理得\[\left( {2 + 3{k^2}} \right){x^2} + 6{k^2}x + 3{k^2} - 6 = 0.\]由根与系数的关系可得\[\begin{split}{x_1} + {x_2} &= - \dfrac{{6{k^2}}}{{2 + 3{k^2}}}, \\ {x_1}{x_2} &= \dfrac{{3{k^2} - 6}}{{2 + 3{k^2}}}.\end{split}\]因为 $A\left( { - \sqrt 3 ,0} \right)$，$B\left( {\sqrt 3 ,0} \right)$，所以\[\begin{split}&\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {CB} \\\overset{\left[a\right]}=& \left( {{x_1} + \sqrt 3 ,{y_1}} \right) \cdot \left( {\sqrt 3 - {x_2}, - {y_2}} \right) + \left( {{x_2} + \sqrt 3 ,{y_2}} \right) \cdot \left( {\sqrt 3 - {x_1}, - {y_1}} \right) \\ \overset{\left[a\right]}=& 6 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} \\=& 6 - 2{x_1}{x_2} - 2{k^2}\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \\ =& 6 - \left( {2 + 2{k^2}} \right){x_1}{x_2} - 2{k^2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{k^2} \\ =& 6 + \frac{{2{k^2} + 12}}{{2 + 3{k^2}}}.\end{split}\]（推导中用到[a]），由已知得 $6 + \dfrac{{2{k^2} + 12}}{{2 + 3{k^2}}}=8$，解得\[k = \pm \sqrt 2 .\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
