已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$，且 ${S_3} + {a_3}$，${S_5} + {a_5}$，${S_4} + {a_4}$ 成等差数列．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案${a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{3}{2^n}$解析本题结合条件计算公比为解题关键．设等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公比为 $q$，因为 ${S_3} + {a_3}$，${S_5} + {a_5}$，${S_4} + {a_4}$ 成等差数列，所以\[{S_5} + {a_5} - {S_3} - {a_3} = {S_4} + {a_4} - {S_5} - {a_5},\]即 $4{a_5} = {a_3}$，于是\[{q^2} \overset{\left[a\right]}= \dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{1}{4}.\]（推导中用到[a]）
又 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列且 ${a_1} = \dfrac{3}{2}$，所以 $q = - \dfrac{1}{2}$．
故等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[\begin{split}{a_n} &= \dfrac{3}{2} \times {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \\&= {\left( { - 1} \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{3}{2^n}.\end{split} \] -
设 ${T_n} = {S_n} - \dfrac{1}{S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$，求数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 的最大项的值与最小项的值．标注答案最大项的值为 $\dfrac{5}{6}$，最小项的值为 $ - \dfrac{7}{12}$解析本题表示出前 $n$ 项和后分析其单调性变化为解题关键，注意要对奇偶分类考虑．由（1）得\[{S_n} \overset{\left[a\right]}= 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}}\right)^n} = {\begin{cases}
1 + \dfrac{1}{2^n},n为奇数, \\
1 - \dfrac{1}{2^n},n为偶数. \\
\end{cases}}\]（推导中用到[a]）
当 $n$ 为奇数时，${S_n}$ 随 $n$ 的增大而减小，所以\[1 < {S_n} \leqslant {S_1}{ = }\dfrac{3}{2},\]故\[0 < {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant {S_1} - \dfrac{1}{S_1} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} .\]当 $n$ 为偶数时，${S_n}$ 随 $n$ 的增大而增大，所以\[\dfrac{3}{4} = {S_2} \leqslant {S_n} < 1,\]故\[0 > {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \geqslant {S_2} - \dfrac{1}{S_2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{7}{12}.\]综上，对于 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，总有\[ - \dfrac{7}{12} \leqslant {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant \dfrac{5}{6}.\]所以数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 最大项的值为 $\dfrac{5}{6}$，最小项的值为 $ - \dfrac{7}{12}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
