已知直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle ABC=120^{\circ}$，$AB=2$，$BC=CC_{1}=1$，则异面直线 $AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 所成角的余弦值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年高考全国甲卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
在直三棱柱中，$AB_{1}=\sqrt 5$，$BC_{1}=\sqrt 2$．
$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+1=2$．
所以异面直线 $AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 的所成角的余弦值为\[\cos\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}\right|}{\left|\overrightarrow{AB_{1}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC_{1}}\right|}=\dfrac{2}{\sqrt 5\cdot \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt {10}}{5}.\]
$\overrightarrow{AB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}\right)\cdot \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}\right)=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+1=2$．所以异面直线 $AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 的所成角的余弦值为\[\cos\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB_{1}}\cdot \overrightarrow{BC_{1}}\right|}{\left|\overrightarrow{AB_{1}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC_{1}}\right|}=\dfrac{2}{\sqrt 5\cdot \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt {10}}{5}.\]
题目
答案
解析
备注
