已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}\ln x$．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
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求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间；标注答案单调递减区间是 $\left( {0,\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}} \right)$，单调递增区间是 $\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}, + \infty } \right)$解析本题考查导数研究函数单调性的相关知识．函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left( {0, + \infty } \right)$．\[f'\left(x\right) = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right),\]令 $f'\left( x \right) =0$，得 $x = \dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}$．
当 $x$ 变化时，$f'\left(x\right),f\left(x\right)$ 的变化情况如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & \left(0,\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right) & \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}} & \left(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, +\infty\right) \\ \hline f'\left(x\right) & - & 0 & + \\ \hline f\left(x\right) & \searrow & 极小值 & \nearrow \\ \hline\end{array}\]所以函数 $f\left(x\right)$ 的单调递减区间是 $\left( {0,\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}} \right)$，单调递增区间是 $\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {\mathrm{e}} }}, + \infty } \right)$． -
证明：对任意的 $t > 0$，存在唯一的 $s$，使 $t = f\left( s \right)$；标注答案略解析本题实质为证明函数 $f \left(x \right)$ 的值域包含全体正实数且值域为正实数时函数为单调递增．当 $0<x \leqslant 1$ 时，$f\left(x\right) \leqslant 0$．$t > 0$，令\[h\left(x\right) = f\left(x\right) - t,x \in \left[ {1, + \infty } \right).\]由（1）知，$h\left(x\right)$ 在区间 $\left( {1, + \infty } \right)$ 内单调递增．\[\begin{split}h\left(1\right) &= - t < 0, \\ h\left( {{{\mathrm{e}}^t}} \right) &= {e^{2t}}\ln {{\mathrm{e}}^t} - t = t\left( {{{\mathrm{e}}^{2t}} - 1} \right) > 0.\end{split}\]故存在唯一的 $s \in \left( {1, + \infty } \right)$，使得 $t = f\left(s\right)$ 成立．
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设（2）中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g\left( t \right)$，证明：当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，有 $\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left( t \right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}$．标注答案略解析本题要证明的函数 $g\left(t\right)$ 较为复杂，不易得到，可借助函数 $t = f\left(s\right)$ 进行研究，简化所要证明的结论．因为 $s = g\left(t\right)$，由（2）知，$t = f\left(s\right)$，且 $s > 1$，从而\[\begin{split}\dfrac{\ln g\left(t\right)}{\ln t} &= \dfrac{\ln s}{\ln f\left(s\right)} \\&= \dfrac{\ln s}{{\ln \left({s^2}\ln s\right)}} \\&\overset{\left[a\right]}= \dfrac{\ln s}{2\ln s + \ln \left(\ln s\right)} \\&= \dfrac{u}{2u + \ln u},\end{split}\]（推导中用到[a]）
其中 $u = \ln s$．要使\[\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left(t\right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}\]成立，只需 $0 < \ln u < \dfrac{u}{2}$．
当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，若 $s = g\left(t\right) \leqslant {\mathrm{e}}$，则由 $f\left(s\right)$ 的单调性，有\[t = f\left(s\right) \leqslant f\left({\mathrm{e}}\right) = {{\mathrm{e}}^2},\]矛盾，所以 $s > {\mathrm{e}}$，即 $u > 1$，从而 $\ln u > 0$ 成立；
另一方面，令\[\begin{split}F\left(u\right) &= \ln u - \dfrac{u}{2},u > 1, \\ F'\left(u\right) &= \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2},\end{split}\]令 $F'\left( u \right) = 0$，得 $u = 2$，
当 $1 < u < 2$ 时，$F'\left(u\right) > 0$，
当 $u > 2$ 时，$F'\left( u \right) < 0$．故对 $u > 1$，\[F\left(u\right) \leqslant F\left( 2 \right) < 0,\]因此 $\ln u < \dfrac{u}{2}$ 成立．
综上，当 $t > {{\mathrm{e}}^2}$ 时，有\[\dfrac{2}{5} < \dfrac{\ln g\left(t\right)}{\ln t} < \dfrac{1}{2}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
