题目 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $a = b\cos C + c\sin B$． 问题1 求 $B$； 答案1 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$ 解析1 本题考查正弦定理及和差角公式的应用，原条件中的边长可利用正弦定理进行转化．由已知及正弦定理得\[\sin A = \sin B\cos C + \sin C\sin B. \quad \cdots \cdots ① \]又 $A = {\mathrm \pi} - \left( {B + C} \right)$，故\[\begin{split}\sin A &\overset{\left[a\right]}= \sin \left( {B + C} \right) \\&\overset{\left[b\right]}= \sin B\cos C + \cos B\sin C,\quad \cdots \cdots ② \end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）<br/>由 $ ①② $ 和 $C \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$ 得\[\sin B = \cos B.\]又 $B \in \left( {0,{\mathrm \pi} } \right)$，所以 $B = \dfrac{\mathrm \pi} {4}$． 备注1 问题2 若 $b = 2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 答案2 $\sqrt 2 + 1$ 解析2 本题考查余弦定理的应用及均值不等式．$\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{\sqrt 2 }{4}ac$．<br/>由已知及余弦定理得\[4 = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \frac{\mathrm \pi} {4}.\]又 ${a^2} + {c^2} \geqslant 2ac$，故\[ac \leqslant \dfrac{4}{2 - \sqrt 2 },\]当且仅当 $a = c$ 时，等号成立．因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\sqrt 2 + 1$． 备注2