题目 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1 {\mathrm{t}}$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品，每 $1 {\mathrm{t}}$ 亏损 $300$ 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 $130 {\mathrm {t}}$ 该农产品．以 $X$（单位：$ {\mathrm {t}}$，$100 \leqslant X \leqslant 150$）表示下一个销售季度内的市场需求量，$T$（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．<br><img src="/static/images/b401409080a6b47253f0386903b83268.png" class="img-responsive" />  问题1 将 $T$ 表示为 $X$ 的函数； 答案1 $T = {\begin{cases}<br/>800X - 39000,&100 \leqslant X < 130, \\<br/>65000,&130 \leqslant X \leqslant 150 \\<br/>\end{cases}}$ 解析1 本题考查实际应用问题，根据题意表达此分段函数即可．这是一个分段函数．<br/>当 $X \in \left[ {100,130} \right)$ 时，\[\begin{split}T &= 500X - 300\left( {130 - X} \right) \\&= 800X - 39000;\end{split}\]当 $X \in \left[ {130,150} \right]$ 时，\[\begin{split}T &= 500 \times 130 \\&= 65000.\end{split}\]所以\[T = {\begin{cases}800X - 39000,&100 \leqslant X < 130, \\<br/>65000,&130 \leqslant X \leqslant 150 .\\<br/>\end{cases}}\] 备注1 问题2 根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率； 答案2 $0.7$ 解析2 本题考查频率分布直方图的相关知识．由第一小问，得到满足题意的 $X$ 的取值范围，再结合频率分布直方图，问题得到解决．由（1）知利润 $T$ 不少于 $ 57000 $ 元，当且仅当 $120 \leqslant X \leqslant 150$．<br/>由直方图知需求量 $X \in \left[ {120,150} \right]$ 的频率为 $0.7$，所以下一个销售季度内的利润 $T$ 不少于 $ 57000 $ 元的概率的估计值为 $0.7$． 备注2 问题3 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 $X \in \left[ {100,110} \right)$，则取 $X = 105$，且 $X = 105$ 的概率等于需求量落入 $\left[ {100,110} \right)$ 的频率），求 $T$ 的数学期望． 答案3 $59400$ 解析3 本题考查离散型随机变量及其分布列．依题意可得 $T$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline T & 45000 & 53000 & 61000 & 65000 \\ \hline P & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 \\ \hline\end{array}\]所以\[\begin{split}E\left(T\right) &\overset{\left[a\right]}= 45000 \times 0.1 + 53000 \times 0.2 + 61000 \times 0.3 + 65000 \times 0.4 \\&= 59400.\end{split}\]（推导中用到[a]） 备注3