平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0 \right) $ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt 3 = 0$ 交 $M$ 于 $A$，$B$ 两点，$P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
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求 $M$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1$解析本题给出弦的方程，中点 $P$ 所满足的条件，是典型的点差法问题．设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$，$B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$，$P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，则\[\begin{split}\dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} &= 1, \\ \dfrac{x_2^2}{a^2} + \dfrac{y_2^2}{b^2} &= 1, \\ \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} &= - 1,\end{split}\]由此可得\[\dfrac{{{b^2}\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{a^2}\left( {{y_2} + {y_1}} \right)}} = - \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 1.\]因为\[\begin{split}{x_1} + {x_2} &= 2{x_0}, \\ {y_1} + {y_2} &= 2{y_0}, \\ \dfrac{y_0}{x_0} &= \dfrac{1}{2},\end{split}\]所以 ${a^2} = 2{b^2}$．又由题意知，$M$ 的右焦点为 $\left( {\sqrt 3 ,0} \right)$，故 ${a^2} - {b^2} = 3$．因此\[{a^2} = 6,{b^2} = 3.\]所以 $M$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1.\]
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$C$，$D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac{8\sqrt 6 }{3}$解析本题较常规，直接计算这个四边形的面积，在分析其最大值即可．由直线 $AB$ 与 $M$ 相交，联立\[{\begin{cases}
x + y - \sqrt 3 = 0, \\
\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1 ,\\
\end{cases}}\]解得\[{\begin{cases}x = \dfrac{4\sqrt 3 }{3}, \\
y = - \dfrac{\sqrt 3 }{3}, \\
\end{cases}} 或 {\begin{cases}x = 0, \\
y = \sqrt 3. \\
\end{cases}}\]因此\[\left| {AB} \right| = \dfrac{4\sqrt 6 }{3}.\]由题意可设直线 $CD$ 的方程为\[y = x + n\left( { - \dfrac{5\sqrt 3 }{3} < n < \sqrt 3 } \right),\]设 $C\left( {{x_3},{y_3}} \right)$，$D\left( {{x_4},{y_4}} \right)$．联立，\[{\begin{cases}y = x + n, \\
\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1, \\
\end{cases}}\]得\[3{x^2} + 4nx + 2{n^2} - 6 = 0,\]于是\[{x_{3,4}} = \dfrac{{ - 2n \pm \sqrt {2\left( {9 - {n^2}} \right)} }}{3}.\]因为直线 $CD$ 的斜率为 $ 1 $，所以\[\begin{split}\left| {CD} \right| \overset{\left[a\right]}= \sqrt 2 \left| {{x_4} - {x_3}} \right| = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {n^2}} .\end{split}\]（推导中用到[a]）
由已知，四边形 $ACBD$ 的面积\[\begin{split}S = \dfrac{1}{2}\left| {CD} \right| \cdot \left| {AB} \right| = \dfrac{8\sqrt 6 }{9}\sqrt {9 - {n^2}} ,\end{split}\]当 $n = 0$ 时，$S$ 取得最大值，最大值为 $\dfrac{8\sqrt 6 }{3}$．
所以四边形 $ACBD$ 面积的最大值为 $\dfrac{8\sqrt 6 }{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
