已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \ln \left( {x + m} \right)$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
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设 $x = 0$ 是 $f\left( x \right)$ 的极值点，求 $m$，并讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性；标注答案$m = 1$；
$f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,0} \right)$ 上单调递减，在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增解析本题考查利用导数研究函数单调性和极值的相关问题．由导数的运算得\[f'\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1}{x + m}.\]由 $x = 0$ 是 $f\left( x \right)$ 的极值点，得 $f'\left( 0 \right) = 0$，所以 $m = 1$．于是\[f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \ln \left( {x + 1} \right),\]定义域为 $\left( { - 1, + \infty } \right)$，\[f'\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1}{x + 1}.\]函数 $f'\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1}{x + 1}$ 在 $\left( { - 1, + \infty } \right)$ 上单调递增，且 $f'\left( 0 \right) = 0$，
因此，当 $x \in \left( { - 1,0} \right)$ 时，$f'\left( x \right) < 0$；当 $x \in \left( {0, + \infty } \right)$ 时，$f'\left( x \right) > 0$．
所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - 1,0} \right)$ 上单调递减，在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增． -
当 $m \leqslant 2$ 时，证明 $f\left( x \right) > 0$．标注答案略解析本题考查利用导数研究函数最值的相关问题．注意原问题由不等式恒成立问题转化为求函数最值的问题．当 $m \leqslant 2$，$x \in \left( { - m, + \infty } \right)$ 时，\[\ln \left( {x + m} \right)\overset{\left[a\right]} \leqslant \ln \left( {x + 2} \right),\]（推导中用到[a]）
故只需证明当 $m = 2$ 时，$f\left( x \right) > 0$．
当 $m = 2$ 时，函数\[f'\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1}{x + 2}\]在 $\left( { - 2, + \infty } \right)$ 上单调递增．
又 $f'\left( { - 1} \right) < 0$，$f'\left( 0 \right) > 0$，故 $f'\left( x \right) = 0$ 在 $\left( { - 2, + \infty } \right)$ 上有唯一实根 ${x_0}$，且 ${x_0} \in \left( { - 1,0} \right)$．
当 $x \in \left( { - 2,{x_0}} \right)$ 时，$f'\left( x \right) < 0$；
当 $x \in \left( {{x_0}, + \infty } \right)$ 时，$f'\left( x \right) > 0$，从而当 $x = {x_0}$ 时，$f\left( x \right)$ 取得最小值．
由 $f'\left( {x_0} \right) = 0$ 得\[{{\mathrm{e}}^{x_0}} = \dfrac{1}{{{x_0} + 2}},\ln \left( {{x_0} + 2} \right) = - {x_0},\]故\[\begin{split}f\left( x \right) &\geqslant f\left( {x_0} \right) \\&= \dfrac{1}{{{x_0} + 2}} + {x_0} \\&= \dfrac{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}{{{x_0} + 2}} \\&> 0.\end{split}\]综上，当 $m \leqslant 2$ 时，$f\left( x \right) > 0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
