已知动点 $P$，$Q$ 都在曲线 $C:{\begin{cases}
x = 2\cos t \\
y = 2\sin t \\
\end{cases}}$（$t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = \alpha $ 与 $t = 2\alpha $ $ \left(0 < \alpha < 2{\mathrm \pi} \right)$，$M$ 为 $PQ$ 的中点．
x = 2\cos t \\
y = 2\sin t \\
\end{cases}}$（$t$ 为参数）上，对应参数分别为 $t = \alpha $ 与 $t = 2\alpha $ $ \left(0 < \alpha < 2{\mathrm \pi} \right)$，$M$ 为 $PQ$ 的中点．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
-
求 $M$ 的轨迹的参数方程；标注答案${\begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \\
\end{cases}}$（$\alpha $ 为参数，$0 < a < 2{\mathrm \pi} $）解析本题考查参数方程的相关知识．依题意有 $P\left( {2\cos \alpha ,2\sin \alpha } \right)$，$Q\left( {2\cos 2\alpha ,2\sin 2\alpha } \right)$，由中点坐标公式得\[M\left( {\cos \alpha + \cos 2\alpha ,\sin \alpha + \sin 2\alpha } \right).\]因此 $M$ 的轨迹的参数方程为 ${\begin{cases}
x = \cos \alpha + \cos 2\alpha \\
y = \sin \alpha + \sin 2\alpha \\
\end{cases}}$（$\alpha $ 为参数，$0 < a < 2{\mathrm \pi} $）． -
将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha $ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点．标注答案$d= \sqrt {2 + 2\cos \alpha } \left( {0 < \alpha < 2{\mathrm \pi} } \right)$；
$M$ 的轨迹过坐标原点解析本题考查参数方程的相关知识．$M$ 点到坐标原点的距离\[d = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \overset{\left[a\right]}= \sqrt {2 + 2\cos \alpha } \left( {0 < \alpha < 2{\mathrm \pi} } \right),\]（推导中用到[a]）
当 $\alpha = {\mathrm \pi} $ 时，$d = 0$，故 $M$ 的轨迹过坐标原点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
