题目 设 $a$，$b$，$c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$，证明： 问题1 $ab + bc + ca \leqslant \dfrac{1}{3}$； 答案1 略 解析1 本题考查多元均值不等式的应用，注意观察 $a+b+c$ 平方之后的特点．由均值不等式得\[\begin{split}{a^2} + {b^2} &\geqslant 2ab,\\ {b^2} + {c^2} &\geqslant 2bc,\\ {c^2} + {a^2} &\geqslant 2ca,\end{split}\]两边分别相加得\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ca.\]由题设知 ${\left( {a + b + c} \right)^2} = 1$，即\[{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 1.\]所以 $3\left( {ab + bc + ca} \right) \leqslant 1$，即\[ab + bc + ca \leqslant \dfrac{1}{3}.\] 备注1 问题2 $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant 1$． 答案2 略 解析2 本题可利用柯西不等式直接进行证明；也可以利用均值不等式，通过构造来进行证明．法一：<br/>由均值不等式得\[\begin{split}\dfrac{a^2}{b} + b &\geqslant 2a,\\ \dfrac{b^2}{c} + c &\geqslant 2b,\\ \dfrac{c^2}{a} + a &\geqslant 2c,\end{split}\]两边分别相加得\[\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} + \left( {a + b + c} \right) \geqslant 2\left( {a + b + c} \right),\]即\[\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant a + b + c,\]所以\[\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant 1.\]法二：<br/>由三维柯西不等式知\[\left(\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \right)\left( { b + c+a} \right)\geqslant \left( {a + b + c} \right)^2. \]又 $a + b + c = 1$，故 $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \geqslant 1$． 备注2