题目 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 $ 4 $ 件作检验，这 $ 4 $ 件产品中优质品的件数记为 $n$．如果 $n = 3$，再从这批产品中任取 $ 4 $ 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n = 4$，再从这批产品中任取 $ 1 $ 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．<br/>假设这批产品的优质品率为 $50\% $，即取出的产品是优质品的概率都为 $\dfrac{1}{2}$，且各件产品是否为优质品相互独立． 问题1 求这批产品通过检验的概率； 答案1 $\dfrac{3}{64}$ 解析1 本题考查事件的互斥与独立以及概率的加法公式．设第一次取出的 $ 4 $ 件产品中恰有 $ 3 $ 件优质品为事件 ${A_1}$，<br/>第一次取出的 $ 4 $ 件产品全是优质品为事件 ${A_2}$，<br/>第二次取出的 $ 4 $ 件产品都是优质品为事件 ${B_1}$，<br/>第二次取出的 $ 1 $ 件产品是优质品为事件 ${B_2}$，<br/>这批产品通过检验为事件 $A$，依题意有\[A = \left( {{A_1}{B_1}} \right) \cup \left( {{A_2}{B_2}} \right),\]且 ${A_1}{B_1}$ 与 ${A_2}{B_2}$ 互斥，所以\[\begin{split}P\left( A \right) &\overset{\left[a\right]}= P\left( {{A_1}{B_1}} \right) + P\left( {{A_2}{B_2}} \right) \\&\overset{\left[b\right]}= P\left( {A_1} \right)P\left( {B_1} \right) + P\left( {A_2} \right)P\left( {B_2} \right) \\&\overset{\left[c\right]}= \dfrac{4}{16} \times \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} \times \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{3}{64}.\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]，[c]） 备注1 问题2 已知每件产品检验费用为 $ 100 $ 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望． 答案2 分布列略；数学期望为 $ 506.25$ 解析2 本题考查离散性随机变量的分布列．$X$ 可能的取值为 $ 400$，$ 500 $，$800 $，并且\[\begin{split}P\left( {X = 400} \right) &= 1 - \dfrac{4}{16} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16}, \\P\left( {X = 500} \right) &= \dfrac{1}{16} ,\\P\left( {X = 800} \right) &= \dfrac{1}{4},\end{split}\]所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X&400&500&800\\ \hline P&\dfrac{11}{16}&\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{4}\\ \hline \end{array} \]所以\[\begin{split}EX &\overset{\left[a\right]}= 400 \times \dfrac{11}{16} + 500 \times \dfrac{1}{16} + 800 \times \dfrac{1}{4} \\&= 506.25.\end{split}\]（推导中用到[a]） 备注2