设函数 $f\left( x \right) = {x^2} + ax + b$，$g\left( x \right) = {\mathrm{e}}^x\left( {cx + d} \right)$，若曲线 $y = f\left( x \right)$ 和曲线 $y = g\left( x \right)$ 都过点 $P\left( {0,2} \right)$，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y = 4x + 2$．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
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求 $a$，$b$，$c$，$d$ 的值；标注答案$b = 2$，$c = 2$，$d = 2$解析本题考察导数的几何意义．由已知得 $f\left( 0 \right) = 2$，$g\left( 0 \right) = 2$，$f'\left( 0 \right) = 4$，$g'\left( 0 \right) = 4 $．而\[f'\left( x \right)= 2x + a, g'\left( x \right)= {{\mathrm e}^x}\left( {cx + d + c} \right),\]故\[b = 2,d = 2,a = 4,d + c = 4.\]从而 $a = 4$，$b = 2$，$c = 2$，$d = 2$．
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若 $x \geqslant - 2$ 时，$f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$，求 $k$ 的取值范围．标注答案$\left[ {1,{{\mathrm{e}}^2}} \right]$解析构造新函数，根据 $k$ 对新函数分类讨论，求其最大值即可．由（1）知\[f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 2, g\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^x}\left( {x + 1} \right).\]设函数 $ F\left( x \right) =kg \left( x \right) - f\left( x \right) = 2k{{\mathrm{e}}^x}\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 4x - 2$，则\[ \begin{split}F'\left( x \right) &= 2k{{\mathrm{e}}^x}\left( {x + 2} \right) - 2x - 4 \\&= 2\left( {x + 2} \right)\left( {k{{\mathrm{e}}^x} - 1} \right). \end{split}\]由题设可得 $F\left( 0 \right) \geqslant 0$，即 $k \geqslant 1$．
令 $F'\left( x \right) = 0$，得\[ {x_1} = - \ln k, {x_2} = - 2. \]（i）若 $1 \leqslant k < {{\mathrm{e}}^2}$，则\[ - 2 < {x_1} \leqslant 0,\]从而当 $x \in \left( { - 2,{x_1}} \right)$ 时，$F'\left( x \right) < 0$；当 $x \in \left( {{x_1}, + \infty } \right)$ 时，$F'\left( x \right) > 0$，
即 $F\left( x \right)$ 在 $\left( { - 2,{x_1}} \right)$ 上单调递减，在 $\left( {{x_1},+ \infty } \right)$ 上单调递增，
故 $F\left( x \right)$ 在 $\left[ { - 2,+ \infty } \right)$ 上的最小值为 $F\left( {x_1} \right)$，而\[\begin{split} F\left( {x_1} \right) &= 2{x_1} + 2 - x_1^2 - 4{x_1} - 2 \\&= - {x_1}\left( {{x_1} + 2} \right) \\&\geqslant 0. \end{split}\]故当 $x \geqslant - 2$ 时，$F\left( x \right) \geqslant 0$，即 $f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$ 恒成立．
（ii）若 $k = {{\mathrm{e}}^2}$，则\[F'\left( x \right) = 2{{\mathrm{e}}^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{{\mathrm{e}}^x} - {{\mathrm{e}}^{ - 2}}} \right),\]从而当 $x > - 2$ 时，$F'\left( x \right) > 0$，即 $F\left( x \right)$ 在 $\left( { - 2,+ \infty } \right)$ 上单调递增，
而 $F\left( { - 2} \right) = 0$，故当 $x \geqslant - 2$ 时，$F\left( x \right) \geqslant 0$，即 $f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$ 恒成立．
（iii）若 $k > {{\mathrm{e}}^2}$，则\[ F\left( { - 2} \right) = - 2k{{\mathrm{e}}^{ - 2}} + 2 = - 2{{\mathrm{e}}^{ - 2}}\left( {k - {{\mathrm{e}}^2}} \right) < 0. \]从而当 $x \geqslant - 2$ 时，$f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$ 不可能恒成立．
综上，$k$ 的取值范围是 $\left[ {1,{{\mathrm{e}}^2}} \right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
