等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，已知 ${S_3} = a_2^2$，且 ${S_1}$，${S_2}$，${S_4}$ 成等比数列，求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（理）
【标注】
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标注答案${a_n} = 3$ 或 $ {a_n} = 2n - 1$．解析本题考查等差数列与等比数列的基本量的计算问题．将题中已知条件转化为首项和公差解方程即可．设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，由 ${S_3} = a_2^2$，得 $3{a_2} = a_2^2$，故\[{a_2} = 0 或 {a_2} = 3.\]由 ${S_1}$，${S_2}$，${S_4}$ 成等比数列得，$S_2^2 = {S_1}{S_4}$．
又\[\begin{split} {S_1} &= {a_2} - d, \\
{S_2} &= 2{a_2} - d, \\
{S_4} &= 4{a_2} + 2d,
\end{split}\]故\[{\left( {2{a_2} - d} \right)^2} = \left( {{a_2} - d} \right)\left( {4{a_2} + 2d} \right).\]若 ${a_2} = 0$，则 ${d^2} = - 2{d^2}$，所以 $d = 0$，此时 ${S_n} = 0$ 不合题意；
若 ${a_2} = 3$，则\[{\left( {6 - d} \right)^2} = \left( {3 - d} \right)\left( {12 + 2d} \right),\]解得\[d = 0 或 d = 2.\]因此 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[{a_n} = 3 或 {a_n} = 2n - 1.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
