甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，各局比赛的结果相互独立，第 $1$ 局甲当裁判．
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（理）
【标注】
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求第 $4$ 局甲当裁判的概率；标注答案$ \dfrac{1}{4}$解析本题考查事件的独立性，分析出第 $4$ 局甲当裁判时，第 $2$ 局与第 $3$ 局甲的胜负情况即可．记 ${A_1}$ 表示事件"第 $2$ 局结果为甲胜"，
${A_2}$ 表示事件"第 $3$ 局甲参加比赛时，结果为甲负"，
$A$ 表示事件"第 $4$ 局甲当裁判"．
则 $A{ = }{A_1} \cdot {A_2}$．\[\begin{split} P\left(A\right) &= P\left( {{A_1} \cdot {A_2}} \right) \\ & = P\left( {A_1} \right)P\left( {A_2} \right) \\ & = \dfrac{1}{4}.\end{split} \] -
$X$ 表示前 $4$ 局中乙当裁判的次数，求 $X$ 的数学期望．标注答案$EX= \dfrac{9}{8}$解析本题考查离散型随机变量的数学期望，分析出乙当裁判的次数与其对应的胜负情况即可．$X$ 的可能取值为 $0,1,2$．
记 ${A_3}$ 表示事件"第 $3$ 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙"，
${B_1}$ 表示事件"第 $1$ 局结果为乙胜丙"，
${B_2}$ 表示事件"第 $2$ 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲"，
${B_3}$ 表示事件"第 $3$ 局乙参加比赛时，结果为乙负"．
则由独立事件的概率计算公式可得\[\begin{split}P\left( {X = 0} \right) &= P\left( {{B_1} \cdot {B_2} \cdot {A_3}} \right)\\& = P\left( {B_1} \right)P\left( {B_2} \right)P\left( {A_3} \right) \\&= \dfrac{1}{8}, \\ P\left( {X = 2} \right) &= P\left( {\overline {B_1} \cdot {B_3}} \right) \\&= P\left( {\overline {B_1} } \right)P\left( {B_3} \right)\\& = \dfrac{1}{4}, \\ P\left( {X = 1} \right) &\overset{\left[a\right]}= 1 - P\left( {X = 0} \right) - P\left( {X = 2} \right)\\& = 1 - \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{4}\\& = \dfrac{5}{8},\end{split}\]（推导中用到：[a]）故 $X$ 的数学期望为\[\begin{split}EX& = 0 \cdot P\left( {X = 0} \right) + 1 \cdot P\left( {X = 1} \right) + 2 \cdot P\left( {X = 2} \right) \\&= \dfrac{9}{8}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
