题目 已知向量 $\overrightarrow a = \left( {\cos x, - \dfrac{1}{2}} \right)$，$\overrightarrow b = \left( {\sqrt 3 \sin x,\cos 2x} \right),x \in {\mathbb{R}}$，设函数 $f\left(x\right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $． 问题1 求 $f\left( x \right)$ 的最小正周期． 答案1 ${\mathrm \pi} $． 解析1 根据向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将 $f(x)$ 转化为正弦型三角函数的形式．根据数量积计算公式可得\[\begin{split}f\left(x\right)=\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b &=\left(\cos x,-\dfrac{1}{2}\right)\cdot\left(\sqrt 3\sin x,\cos {2x}\right)\\&=\sqrt 3\sin x\cos x-\dfrac{1}{2}\cos {2x}\\& \overset{\left[a\right]}=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin {2x}-\dfrac{1}{2}\cos {2x}\\& \overset{\left[b\right]}=\sin \left(2x-\dfrac{\mathrm{\mathrm \pi} }{6}\right).\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）<br/>$f\left( x \right)$ 的最小正周期为\[T = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{\omega } = \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{2} = {\mathrm \pi} ,\]即函数 $f\left( x \right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $． 备注1 问题2 求 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的最大值和最小值． 答案2 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的最大值是 $ 1 $，最小值是 $ - \dfrac{1}{2}$． 解析2 根据正弦型函数的图象与性质求出最值即可．因为 $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，所以\[ - \dfrac{\mathrm \pi} {6} \leqslant 2x - \dfrac{\mathrm \pi} {6} \leqslant \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{6}.\]根据正弦型函数的图象与性质可得，<br/>当 $2x - \dfrac{\mathrm \pi} {6} = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$，即 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 时，$f\left( x \right)$ 取得最大值 $ 1 $；<br/>当 $2x - \dfrac{\mathrm \pi} {6} = - \dfrac{\mathrm \pi} {6}$，即 $x = 0$ 时，$f\left( x \right)$ 取得最小值 $ - \dfrac{1}{2}$．<br/>因此，$f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 上的最大值是 $ 1 $，最小值是 $ - \dfrac{1}{2}$． 备注2