设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列．
【难度】
【出处】
2013年高考陕西卷（理）
【标注】
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推导 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和公式；标注答案略．解析本题考查等比数列的前 $n$ 项和公式的推导，利用错位相减法即可．可用错位相减法推导等比数列前 $n$ 项和公式．
设 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，
当 $q = 1$ 时，\[\begin{split}{S_n} &= {a_1} + {a_1} + \cdots + {a_1} \\& = n{a_1}.\end{split}\]当 $q \ne 1$ 时，\[\begin{split}{S_n} &= {a_1} + {a_1}q + {a_1}{q^2} + \cdots + {a_1}{q^{n - 1}}, \quad \cdots \cdots ① \\
q{S_n} &= {a_1}q + {a_1}{q^2} + \cdots + {a_1}{q^n}, \quad \cdots \cdots ② \end{split} \]① $ - $ ② 得\[\left( {1 - q} \right){S_n} = {a_1} - {a_1}{q^n},\]所以\[{S_n} = \dfrac{{{a_1}\left(1 - {q^n}\right)}}{1 - q},\]综上可得\[{S_n} = {\begin{cases}n{a_1},&q = 1, \\
\dfrac{{{a_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{1 - q},&q \ne 1. \\
\end{cases}}\] -
设 $q \ne 1$，证明数列 $\left\{ {{a_n} + 1} \right\}$ 不是等比数列．标注答案略．解析用反证法，假设成立，求出公比或推出矛盾．因为 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，所以 $a_{k+1}^2=a_ka_{k+2}$，$\dfrac {a_{k+2}}{a_{k+1}}=\dfrac {a_{k+1}}{a_{k}}=q$．
假设 $\left\{ {{a_n} + 1} \right\}$ 是等比数列，则对任意的 $k \in {{\mathbb{N}}_ + }$，\[{\left( {{a_{k + 1}} + 1} \right)^2} = \left( {{a_k} + 1} \right)\left( {{a_{k + 2}} + 1} \right),\]展开得\[ a_{k + 1}^2 + 2{a_{k + 1}} + 1 = {a_k}{a_{k + 2}} + {a_k} + {a_{k + 2}} + 1,\]所以\[ 2a_{k+1}=a_k+a_{k+2},\]两边同除 $a_{k+1}$，得\[2=q+\dfrac 1q,\]解得 $q = 1$，这与已知矛盾．所以假设不成立，故 $\left\{ {{a_n} + 1} \right\}$ 不是等比数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
