在一场娱乐晚会上，有 $5$ 位民间歌手（$1$ 至 $5$ 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 $ 3 $ 名歌手，其中观众甲是 $ 1 $ 号歌手的歌迷，他必选 $ 1 $ 号，不选 $ 2 $ 号，另在 $ 3 $ 至 $ 5 $ 号中随机选 $ 2 $ 名．观众乙和丙对 $ 5 $ 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 $ 1 $ 至 $ 5 $ 号中随机选 $ 3 $ 名歌手．
【难度】
【出处】
2013年高考陕西卷（理）
【标注】
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求观众甲选中 $ 3 $ 号歌手且观众乙未选中 $ 3 $ 号歌手的概率；标注答案$\dfrac{4}{15}$．解析本题考查事件的独立性，分别求出各自的概率相乘即可．设 $A$ 表示事件“观众甲选中 $ 3 $ 号歌手”，$B$ 表示事件“观众乙选中 $ 3 $ 号歌手”，则根据古典概型及组合知识可得\[\begin{split}P\left( A \right) &= \dfrac{{{\mathrm{C}}_2^1}}{{{\mathrm{C}}_3^2}} = \dfrac{2}{3}, \\ P\left( B \right)&= \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^2}}{{{\mathrm{C}}_5^3}} = \dfrac{3}{5} .\end{split}\]因为事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，所以观众甲选中 $ 3 $ 号歌手且观众乙未选中 $ 3 $ 号歌手的概率为\[ P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right) \cdot \left[ {1 - P\left( B \right)} \right]
= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15}. \] -
$X$ 表示 $ 3 $ 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 $X$ 的分布列和数学期望．标注答案$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
X&0&1&2&3\\ \hline
P&\dfrac{4}{75}&\dfrac{4}{15}&\dfrac{11}{25}&\dfrac{6}{25}\\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望\[ { {E}}X = \dfrac{28}{15}. \]解析本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望．对 $x$ 的所有取值，均按事件的独立性求解概率即可，注意概率和为 $1$．设 $C$ 表示事件“观众丙选中 $ 3 $ 号歌手”，则\[P\left( B \right) = \dfrac{{{\mathrm{C}}_4^2}}{{{\mathrm{C}}_5^3}}{ = }\dfrac{3}{5}.\]$X$ 可能的取值为 $ 0,1,2,3 $，根据独立事件乘法公式得，取这些值的概率分别为\[\begin{split} P\left( {X = 0} \right) &= P\left( {\overline A \overline B \overline C } \right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{75} ,\\ P\left( {X = 1} \right) &= P\left( { A \overline B \overline C } \right) + P\left( {\overline A B\overline C } \right) + P\left( {\overline A \overline B C} \right)\\
& = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} \\&= \dfrac{20}{75} = \dfrac{4}{15}, \\ P\left( {X = 2} \right) &= P\left( {AB\overline C } \right) + P\left( {A\overline B C} \right) + P\left( {\overline A BC} \right)\\
&= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}\\ &= \dfrac{33}{75} = \dfrac{11}{25} ,\\ P\left( {X = 3} \right) &= P\left( {ABC} \right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{75} = \dfrac{6}{25}.\end{split}\]所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
X&0&1&2&3\\ \hline
P&\dfrac{4}{75}&\dfrac{4}{15}&\dfrac{11}{25}&\dfrac{6}{25}\\ \hline
\end{array}\]$X$ 的数学期望为\[ { {E}}X = 0 \times \dfrac{4}{75} + 1 \times \dfrac{4}{15} + 2 \times \dfrac{11}{25} + 3 \times \dfrac{6}{25} = \dfrac{28}{15}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
