题目 设 $f\left( x \right) = a{\left( {x - 5} \right)^2} + 6\ln x$，其中 $a \in {\mathbb{R}}$，曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $\left( {0,6} \right)$． 问题1 确定 $a$ 的值； 答案1 $\dfrac{1}{2}$． 解析1 本题考查导数的几何意义，结合条件求出切线即可．因为 $f\left( x \right)=a{{\left( x-5 \right)}^{2}}+6\ln x$，故\[f'\left( x \right)=2a\left( x-5 \right)+\frac{6}{x}.\]令 $x=1$，得\[f\left( 1 \right)=16a,f'\left( 1 \right)=6-8a,\]所以曲线 $y=f\left( x \right)$ 在点 $\left( 1,f\left( 1 \right) \right)$ 处的切线方程为\[y-16a=\left( 6-8a \right)\left( x-1 \right).\]由点 $\left( 0,6 \right)$ 在切线上可得 $6-16a=8a-6$，故\[a=\dfrac{1}{2}.\] 备注1 问题2 求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间与极值． 答案2 故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( 0,2 \right) , \left( 3,+\infty \right)$ 上为增函数；在 $\left( 2,3 \right)$ 上为减函数．<br/>$f\left( x \right)$ 在 $x=2$ 处取得极大值 $f\left( 2 \right)=\dfrac{9}{2}+6\ln 2$，在 $x=3$ 处取得极小值 $f\left( 3 \right)=2+6\ln 3$． 解析2 本题考查利用导数研究函数单调性与极值的相关知识．由（1）知，\[\begin{split}f\left( x \right)&=\frac{1}{2}{{\left( x-5 \right)}^{2}}+6\ln x\left( x>0 \right), \\ f'\left( x \right)&=x-5+\frac{6}{x}=\frac{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}{x}.\end{split}\]令 $f'\left( x \right)=0$，解得\[{{x}_{1}}=2,{{x}_{2}}=3.\]当 $0<x<2$ 或 $x>3$ 时，\[f'\left( x \right)>0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( 0,2 \right) , \left( 3,+\infty \right)$ 上为增函数；<br/>当 $2<x<3$ 时，\[f'\left( x \right)<0,\]故 $f\left( x \right)$ 在 $\left( 2,3 \right)$ 上为减函数．<br/>由此可知，$f\left( x \right)$ 在 $x=2$ 处取得极大值$f\left( 2 \right)=\dfrac{9}{2}+6\ln 2$，在 $x=3$ 处取得极小值 $f\left( 3 \right)=2+6\ln 3$． 备注2