某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 $ 3 $ 个红球与 $ 4 $ 个白球的袋中任意摸出 $ 3 $ 个球，再从装有 $ 1 $ 个蓝球与 $ 2 $ 个白球的袋中任意摸出 $ 1 $ 个球，根据摸出 $ 4 $ 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline
奖级 & 摸出红、蓝球个数 & 获奖金额 \\ \hline
一等奖 & 3红1蓝 & 200元 \\ \hline
二等奖 & 3红0蓝 & 50元 \\ \hline
三等奖 & 2红1蓝 & 10元 \\ \hline \end{array}\]其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
奖级 & 摸出红、蓝球个数 & 获奖金额 \\ \hline
一等奖 & 3红1蓝 & 200元 \\ \hline
二等奖 & 3红0蓝 & 50元 \\ \hline
三等奖 & 2红1蓝 & 10元 \\ \hline \end{array}\]其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
【难度】
【出处】
2013年高考重庆卷（理）
【标注】
-
求一次摸球恰好摸到 $ 1 $ 个红球的概率；标注答案$\dfrac{18}{35}$．解析本题考查古典概型计算概率问题，从第一个袋子取球是典型的超几何分布．由于第二个袋子里面没有红球，所以恰好摸出 $1$ 个红球即从第一个袋子里摸出了 $1$ 个红球 $2$ 个白球，跟第二个袋子摸出什么球无关．
从第一个袋子里摸三个球，所有可能的结果有 $\mathrm C_7^3$ 种，恰好有一个红球的结果有 $\mathrm C_3^1\mathrm C_4^2$ 种．所以恰好摸到 $1$ 个红球的概率为\[p=\dfrac{\mathrm{C}_{ 3 }^{ 1 }\mathrm{C}_{ 4 }^{ 2 }}{\mathrm{C}_{ 7 }^{ 3 }}=\dfrac{18}{35}.\] -
求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E\left(X\right)$．标注答案获奖金额 $ X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 10 & 50 & 200 \\ \hline
P & \frac{6}{7} & \frac{4}{35} & \frac{2}{105} & \frac{1}{105} \\ \hline \end{array}\]从而有\[ E\left( X \right) =0\times \frac{6}{7}+10\times \frac{4}{35}+50\times \frac{2}{105}+200\times \frac{1}{105} =4\left(元\right). \]解析本题考查离散型随机变量的分布列计算，考查独立事件与等可能事件的结合．设 ${{A}_{i}}\left( i=0,1,2,3 \right)$ 表示摸到 $i$ 个红球，${{B}_{j}}\left( j=0,1 \right)$ 表示摸到 $j$ 个蓝球，则 $ {{A}_{i}} $ 与 $ {{B}_{j}} $ 独立．
$ X $ 的所有可能值为 $ 0,10,50,200 $，且\[ \begin{split} &P\left( X=200 \right)=P\left( {{A}_{3}}{{B}_{1}} \right)\overset{\left[a\right]}=P\left( {{A}_{3}} \right)P\left( {{B}_{1}} \right)=\dfrac{\mathrm{C}_{ 3 }^{ 3 }}{\mathrm{C}_{ 7 }^{ 3 }}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{105}, \\& P\left( X=50 \right) =P\left( {{A}_{3}}{{B}_{0}} \right)\overset{\left[a\right]}=P\left( {{A}_{3}} \right)P\left( {{B}_{0}} \right)=\dfrac{\mathrm{C}_{ 3 }^{ 3 }}{\mathrm{C}_{ 7 }^{ 3 }}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{105}, \\&P\left( X=10 \right) =P\left( {{A}_{2}}{{B}_{1}} \right)\overset{\left[a\right]}=P\left( {{A}_{2}} \right)P\left( {{B}_{1}} \right)=\dfrac{\mathrm{C}_{ 3 }^{ 2 }\mathrm{C}_{ 4 }^{ 1 }}{\mathrm{C}_{ 7 }^{ 3 }}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{105}=\dfrac{4}{35}, \\& P\left( X=0 \right) =1-\dfrac{1}{105}-\dfrac{2}{105}-\dfrac{4}{35}=\dfrac{6}{7}.\end{split} \]（推导中用到：[a]
综上可知，获奖金额 $ X $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 10 & 50 & 200 \\ \hline
P & \frac{6}{7} & \frac{4}{35} & \frac{2}{105} & \frac{1}{105} \\ \hline \end{array}\]则数学期望为\[ E\left( X \right) =0\times \frac{6}{7}+10\times \frac{4}{35}+50\times \frac{2}{105}+200\times \frac{1}{105} =4\left(元\right). \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
