在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，且 ${a^2} + {b^2} + \sqrt 2 ab = {c^2}$．
【难度】
【出处】
2013年高考重庆卷（理）
【标注】
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求 $C$；标注答案$ C=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4} $．解析本题直接利用余弦定理即可解答．因为 $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}_{{}}+\sqrt{2}ab={{c}^{2}} $，由余弦定理有\[ \cos C=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\dfrac{-\sqrt{2}ab}{2ab}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} .\]故 $ C=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4} $．
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设 $\cos A\cos B = \dfrac{3\sqrt 2 }{5} $，$\dfrac{{\cos \left( {\alpha + A} \right)\cos \left( {\alpha + B} \right)}}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{\sqrt 2 }{5}$，求 $\tan \alpha $ 的值．标注答案$\tan \alpha =1$ 或 $ \tan \alpha =4$．解析本题需要利用和差角公式、同角三角函数的基本关系式对 $\dfrac{{\cos \left( {\alpha + A} \right)\cos \left( {\alpha + B} \right)}}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ 进行化简，再结合 $ C=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4} $ 与 $\cos A\cos B = \dfrac{3\sqrt 2 }{5} $ 进行计算．由题意并根据和差角公式得，\[\dfrac{\left( \sin \alpha \sin A-\cos \alpha \cos A \right)\left( \sin \alpha \sin B-\cos \alpha \cos B \right)}{{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{5},\]因为 $\dfrac {\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha$，所以\[ \left( \tan \alpha \sin A-\cos A \right)\left( \tan \alpha \sin B-\cos B \right)=\frac{\sqrt{2}}{5}. \]展开得 $ {{\tan }^{2}}\alpha \sin A\sin B-\tan \alpha \left( \sin A\cos B+\cos A\sin B \right)+\cos A\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{5}, $ 据和差角公式得\[ {{\tan }^{2}}\alpha \sin A\sin B-\tan \alpha \sin \left( A+B \right)+\cos A\cos B=\frac{\sqrt{2}}{5}. \quad \cdots \cdots ① \]因为 $ C=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4} $，所以 $ A+B=\dfrac{\mathrm \pi} {4} $，所以\[ \sin \left( A+B \right)=\cos \left( A+B \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} .\]因为 $ \cos \left( A+B \right)=\cos A\cos B-\sin A\sin B $，所以\[ \dfrac{3\sqrt{2}}{5}-\sin A\sin B=\dfrac{\sqrt{2}}{2} .\]解得\[ \sin A\sin B=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}. \]将求得条件代入 ① 得，$ {{\tan }^{2}}\alpha -5\tan \alpha +4=0 $，解得\[ \tan \alpha =1 或 \tan \alpha =4. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
