题目 设向量 $\overrightarrow a = \left( {\sqrt 3 \sin x,\sin x} \right)$，$\overrightarrow b = \left( {\cos x,\sin x} \right),x \in \left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$． 问题1 若 $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|$，求 $x$ 的值； 答案1 $ \dfrac{\mathrm \pi} {6}$ 解析1 根据向量模长公式及三角函数运算公式得到答案．由\[\begin{split} {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} &= {\left( {\sqrt 3 \sin x} \right)^2} + {\left( {\sin x} \right)^2} = 4{\sin ^2}x, \\ {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} &= {\left( {\cos x} \right)^2} + {\left( {\sin x} \right)^2} = 1\end{split} \]（推导中用到：）及 $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|$，得\[4{\sin ^2}x = 1.\]又 $x \in \left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$，从而\[\sin x = \dfrac{1}{2},\]所以\[x = \dfrac{\mathrm \pi} {6}.\] 备注1 问题2 设函数 $f\left( x \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $，求 $f\left( x \right)$ 的最大值． 答案2 $\dfrac{3}{2}$ 解析2 根据向量的数量积的坐标表示结合三角恒等变换公式即可得到答案．因为\[\begin{split}f\left(x\right) &= \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \\&\overset{\left[a\right]}= \sqrt 3 \sin x \cdot \cos x + {\sin ^2}x\\<br/>&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2} \\&\overset{\left[c\right]}= \sin \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right) + \dfrac{1}{2}.\end{split}\]（推导中用到：[a][b][c]）当 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {3} \in \left[ {0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}} \right]$ 时，$\sin \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)$ 取最大值 $ 1 $．<br/>所以 $f\left( x \right)$ 的最大值为 $\dfrac{3}{2}$． 备注2